द्रव्यमान M=0.2 kg का एक कण आरंभ में x y -समतल ?

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6.System of Particles and Rotational Motion

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द्रव्यमान $M=0.2 kg$ का एक कण आरंभ में $x y$-समतल के एक बिन्दु $( x =-l, y =-h)$ पर विरामावस्था में है, जहाँ $l=10 m$ तथा $h=1 m$ हैं। समय $t =0$ पर कण को $a =10 m / s ^2$ के नियत त्वरण (constant acceleration) से धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में त्वरित किया जाता है। मूल बिन्दु के सापेक्ष, कण के कोणीय संवेग (angular momentum) तथा बल आघूर्ण (torque) SI इकाई में क्रमशः $\overrightarrow{ L }$ और $\vec{\tau}$ से परिभाषित हैं। $\hat{ i }, \hat{ j }$ तथा $\hat{ k }$ क्रमश: धनात्मक $x, y$ और $z$-अक्षों की दिशाओं में इकाई सदिशें (unit vectors) हैं। यदि $\hat{ k }=\hat{ i } \times \hat{ j }$, तो निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ समय $t =2 s$ पर कण बिन्दु $(x-l, y--h)$ पर पहुँचता है

$(B)$ $\vec{\tau}=2 \hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x=1, y=-h)$ से गुजरता है

$(C)$ $\overrightarrow{ L }=4 \hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है

$(D)$ $\vec{\tau}=\hat{ k }$, जब कण बिन्दु $(x-0, y-h)$ से गुजरता है

A

$A,B,D$

B

$A,B,C$

C

$A,B$

D

$A,D$

(IIT-2021)

Solution

$\overrightarrow{ r }_{ A }=-\hat{ j }$

$S =\frac{1}{2} a t ^2$

$20=\frac{1}{2} \times 10 \times t ^2$

$t =2 sec$

$\vec{\tau}_0=\overrightarrow{ r } \times \overrightarrow{ F } ; \overrightarrow{ r }_{ B }=10 \hat{ i }-\hat{ j }$

$\overrightarrow{ F }= ma =0.2 \times 10 \hat{ i }=2 \hat{ i }$

$\vec{\tau}_0=(10 \hat{ i }-\hat{ j }) \times(2 \hat{ i })$

$\vec{\tau}_0=2 \hat{ k }$

$\overrightarrow{ L }_0=\overrightarrow{ r }_{ B } \times \overrightarrow{ p }=\overrightarrow{ r }_{ B } \times m \overrightarrow{ v }$

$\overrightarrow{ v }^2=\overrightarrow{ a }=10 \hat{ i } \times 2=20 \hat{ i }$

$\overrightarrow{ L }_0=(0.2)[(10 \hat{ i }-\hat{ j }) \times 20 \hat{ i }]=4 \hat{ k }$

At point $A (0,-1)$

$\vec{\tau}_0=\vec{r}_{ A } \times \overrightarrow{ F }=(-\hat{ j }) \times 2 \hat{ i }=2 \hat{ k }$

Standard 11

Physics

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