$m$ द्रव्यमान का एक कण, $XY$ तल में सीधी रेखा $AB$ पर $v$ वेग से गतिशील है। मूल बिन्दु $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग बिन्दु $A$ पर $L _{ A }$ हो तथा बिन्दु $B$ पर $L _{ B }$ हो, तो
$m$ द्रव्यमान का एक कण, $XY$ तल में सीधी रेखा $AB$ पर $v$ वेग से गतिशील है। मूल बिन्दु $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग बिन्दु $A$ पर $L _{ A }$ हो तथा बिन्दु $B$ पर $L _{ B }$ हो, तो
- [AIPMT 2007]
- A
$L_A=L_B$
- B
$L _{ A }$ और $L _{ B }$ का आपसी सम्बन्ध रेखा $AB$ की प्रवणता ( ढाल) पर निर्भर होगा
- C
$L_A < L_B$
- D
$L_A>L_B$
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यदि पृथ्वी की त्रिज्या अचानक घट जाये तो
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एक लोलक (pendulum), द्रव्यमान $m=0.1 kg$ के एक गोलक ($bob$) और लम्बाई $L=1.0 m$ के एक द्रव्यमानरहित (massless) तथा न खींचने वाले (inextensible) धागे से बना है। यह एक घर्षणहीन क्षैतिज फर्श (floor) से $H=0.9 m$ की ऊँचाई पर एक स्थिर बिन्दु से लटका हुआ है। आरंभ में गोलक, फर्श पर निलंबन बिन्दु (point of suspension) से ठीक ऊर्ध्वाधर नीचे स्थिरावस्था में है। किसी क्षण, गोलक को $P=0.2 kg - m / s$ का एक क्षैतिज आवेग (impulse) प्रदान किया जाता है। इस कारण कुछ दूरी तक फिसलने के बाद, गोलक सतह से ऊपर उठ जाता है और धागा तन जाता है (becomes taut) । गोलक के सतह से उठने के तुरंत पहले, निलंबन बिन्दु के सापेक्ष, लोलक का कोणीय संवेग (angular momentum) $J kg-m^2 / s$ है। सतह से उठने के तुरंत बाद लोलक की गतिज ऊर्जा $K$ Joules है।
($1$) $J$ का मान. . . . है।
($2$) $K$ का मान. . . . . है।
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
एक लोलक (pendulum), द्रव्यमान $m=0.1 kg$ के एक गोलक ($bob$) और लम्बाई $L=1.0 m$ के एक द्रव्यमानरहित (massless) तथा न खींचने वाले (inextensible) धागे से बना है। यह एक घर्षणहीन क्षैतिज फर्श (floor) से $H=0.9 m$ की ऊँचाई पर एक स्थिर बिन्दु से लटका हुआ है। आरंभ में गोलक, फर्श पर निलंबन बिन्दु (point of suspension) से ठीक ऊर्ध्वाधर नीचे स्थिरावस्था में है। किसी क्षण, गोलक को $P=0.2 kg - m / s$ का एक क्षैतिज आवेग (impulse) प्रदान किया जाता है। इस कारण कुछ दूरी तक फिसलने के बाद, गोलक सतह से ऊपर उठ जाता है और धागा तन जाता है (becomes taut) । गोलक के सतह से उठने के तुरंत पहले, निलंबन बिन्दु के सापेक्ष, लोलक का कोणीय संवेग (angular momentum) $J kg-m^2 / s$ है। सतह से उठने के तुरंत बाद लोलक की गतिज ऊर्जा $K$ Joules है।
($1$) $J$ का मान. . . . है।
($2$) $K$ का मान. . . . . है।
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
- [IIT 2021]
एक पंखे का जड़त्व आघूर्ण $0.6$ किग्रा मीटर$^2$ है तथा यह $0.5$ चक्र/सैकण्ड की चाल शीघ्र ही प्राप्त कर लेता है। इस पंखे का कोणीय संवेग होगा
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$ 2 $ किग्रा का एक द्रव्यमान $ 0.8 $ मीटर त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $ 44 $ रेडियन/सैकण्ड के कोणीय वेग से घूम रहा है। यदि पथ की त्रिज्या $ 1 $ मीटर हो जाये तो कोणीय वेग का मान ........ रेडियन/सै होगा
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नीचे दी गयी सूची-$I$ में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में $\alpha$ और $\beta$ उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ $\alpha \neq \beta$ | प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची॥ में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: $\vec{p}$ रेखीय संवेग (linear momentum) है, $\vec{L}$ मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है, $K$ गतिज उर्जा (kinetic energy) है, $U$ स्थितिज उर्जा (potential energy) है और $E$ कुल उर्जा (total energy) है। सूची-$I$ के प्रत्येक पथ का सूची-$II$ में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।
सूची-$I$
सूची-$II$
$P$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{t}+\beta t \hat{j}$
$1$ $\overrightarrow{ p }$
$Q$ $\dot{r}(t)=\alpha \cos \omega t \hat{i}+\beta \sin \omega t \hat{j}$
$2$ $\overrightarrow{ L }$
$R$ $\dot{r}(t)=\alpha(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})$
$3$ $K$
$S$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{i}+\frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$
$4$ $U$
$5$ $E$
नीचे दी गयी सूची-$I$ में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में $\alpha$ और $\beta$ उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ $\alpha \neq \beta$ | प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची॥ में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: $\vec{p}$ रेखीय संवेग (linear momentum) है, $\vec{L}$ मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है, $K$ गतिज उर्जा (kinetic energy) है, $U$ स्थितिज उर्जा (potential energy) है और $E$ कुल उर्जा (total energy) है। सूची-$I$ के प्रत्येक पथ का सूची-$II$ में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $P$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{t}+\beta t \hat{j}$ | $1$ $\overrightarrow{ p }$ |
| $Q$ $\dot{r}(t)=\alpha \cos \omega t \hat{i}+\beta \sin \omega t \hat{j}$ | $2$ $\overrightarrow{ L }$ |
| $R$ $\dot{r}(t)=\alpha(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})$ | $3$ $K$ |
| $S$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{i}+\frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$ | $4$ $U$ |
| $5$ $E$ |
- [IIT 2018]