व्यक्ति $(2n+1)$ सिक्कों में से एक से लेकर $n$ तक सिक्कों चुन सकता है

यदि एकसिक्कों चुनने के कुल प्रकार $T$ हैं, तो  

$T = {\,^{2n + 1}}{C_1}\,{ + ^{2n + 1}}{C_2}\, + \,…… + {\,^{2n + 1}}{C_n}\, = 255$…..$(i)$

द्विपद गुणांकों का योग

= $^{2n + 1}{C_0}\,{ + ^{2n + 1}}{C_1}\, + {\,^{2n + 1}}{C_2} + …..{ + ^{2n + 1}}{C_n}\,{ + ^{2n + 1}}{C_{n + 1}}$

 $ + {\,^{2n + 1}}{C_{n + 2}}\, + …..{ + ^{2n + 1}}{C_{2n + 1}} = {(1 + 1)^{2n + 1}} = {2^{2n + 1}}$

$\Rightarrow$ $^{2n + 1}{C_0}\, + \,2\left( {^{2n + 1}{C_1}\, + {\,^{2n + 1}}{C_2}\, + …{ + ^{2n + 1}}{C_n}} \right)$

 $ + {\,^{2n + 1}}{C_{2n + 1}}\, = {2^{2n + 1}}$

$\Rightarrow$ $1 + 2(T) + 1 = {2^{2n + 1}} \Rightarrow 1 + T = \frac{{{2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{2n}}$

$\Rightarrow$ $1 + 255 = {2^{2n}}\, \Rightarrow \,\,{2^{2n}}\,\, = \,\,{2^8}\, \Rightarrow \,\,n\,\, = \,\,4$.