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6.System of Particles and Rotational Motion
hard
द्रव्यमान $m$ तथा लम्बाई $L$ की एक छड़, जो अपने किसी एक सिरे पर कीलकीत है, ऊर्ध्वाधर रूप से लटकायी गई है। $v$ चाल से गतिशील समान द्रव्यमान की एक गोली छड़ से इसके कीलकीत सिरे से $x$ दूरी पर टकराती है तथा इसमें धँस जाती है। अब संयुक्त निकाय कीलक के सापेक्ष कोणीय चाल $\omega$ से घूर्णन करता है। अधिकतम कोणीय चाल $\omega_{ M } x = x _{ M }$ के लिए प्राप्त होती है। तब
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$
A$A,B,C$
B$A,B,D$
C$A,C,D$
D$A,C$
(IIT-2020)
Solution
by the angular momentum conservation about the suspension point.$mvx =\left(\frac{ m \ell^2}{3}+ mx ^2\right) \omega$
$\therefore \omega=\frac{ mvx }{\frac{ m \ell^2}{3}+ mx ^2}=\frac{2 vx }{\ell^2+3 x }$
For maximum $\omega \Rightarrow \frac{ d \omega}{ dx }=0$
$\therefore x _{ M }=\frac{\ell}{\sqrt{3}}$
So the $\omega=\frac{ V }{2 \ell} \sqrt{3}$
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नीचे दी गयी सूची-$I$ में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में $\alpha$ और $\beta$ उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ $\alpha \neq \beta$ | प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची॥ में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: $\vec{p}$ रेखीय संवेग (linear momentum) है, $\vec{L}$ मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है, $K$ गतिज उर्जा (kinetic energy) है, $U$ स्थितिज उर्जा (potential energy) है और $E$ कुल उर्जा (total energy) है। सूची-$I$ के प्रत्येक पथ का सूची-$II$ में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $P$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{t}+\beta t \hat{j}$ | $1$ $\overrightarrow{ p }$ |
| $Q$ $\dot{r}(t)=\alpha \cos \omega t \hat{i}+\beta \sin \omega t \hat{j}$ | $2$ $\overrightarrow{ L }$ |
| $R$ $\dot{r}(t)=\alpha(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})$ | $3$ $K$ |
| $S$ $\dot{r}(t)=\alpha t \hat{i}+\frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$ | $4$ $U$ |
| $5$ $E$ |
