$M$ द्रव्यमान तथा $R$ त्रिज्यांकी पृथ्वी के तल से $2 R$ ऊँचाई पर स्थित एक वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान के किसी उपप्रह को पृथ्वी तल से प्रक्षेपित करने के लिए न्यूनतम आवश्यक ऊर्जा है:

द्रव्यमान $m _{1}$ एवं $m _{2}$ के दो परिकल्पित उपग्रह विश्राम अवस्था में हैं जब वे एक दूसरे से अनन्त दूरी पर हैं। गुरुत्वाकर्षण बल के कारण उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा पर एक दूसरे की ओर गति करना प्रारम्भ करते हैं। जब उनके बीच दूरी $'d '$ है, तब उनकी चाल क्या है ?

$\left( m _{1}\right.$ की चाल $v_{1}$ एवं $m _{2}$ की चाल $v_{2}$ है )

दो ग्रहों के द्रव्यमान $M$ तथा $16 M$ और उनकी त्रिज्यायें क्रमशः $a$ तथा $2 a$ है। इन दों ग्रहों के केन्द्रों के बीच की दूरी $10 a$ हैं बड़े ग्रह से छोटे ग्रह की ओर, $m$ द्रव्यमान के एक पिण्ड को, उनके केन्द्रों को जोड़ने वाली दिशा में दागा जाता है। तो, छोटे ग्रह के पृष्ठ पर पहुंच पाने के लिये, उस पिण्ड के दांये जाने की न्यूनतम चाल होनी चाहिए ?

एक $(2 M )$ द्रव्यमान की वस्तु चार द्रव्यमानों $\{ m , M$ $- m , m , M – m \}$ में टूटती है, तो चित्रानुसार एक वर्ग के रूप में व्यवस्थित किए जाते हैं। $\frac{ M }{ m }$ का अनुपात, जिसके लिए निकाय की गुरूत्वीय र्थितिज ऊर्जा अधिकतम हो जाती है $x : 1$ होता है। $x$ का मान $……..$ है।

$500$ किग्रा के एक पिण्ड को पृथ्वी से पलायन कराने के लिये कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होगी

$(g = 9.8\,m/{s^2}$, पृथ्वी की त्रिज्या $ = 6.4 \times {10^6}\,m)$