दो ग्रहों के द्रव्यमान M तथा 16 M और उनकी ?

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7.Gravitation

hard

दो ग्रहों के द्रव्यमान $M$ तथा $16 M$ और उनकी त्रिज्यायें क्रमशः $a$ तथा $2 a$ है। इन दों ग्रहों के केन्द्रों के बीच की दूरी $10 a$ हैं बड़े ग्रह से छोटे ग्रह की ओर, $m$ द्रव्यमान के एक पिण्ड को, उनके केन्द्रों को जोड़ने वाली दिशा में दागा जाता है। तो, छोटे ग्रह के पृष्ठ पर पहुंच पाने के लिये, उस पिण्ड के दांये जाने की न्यूनतम चाल होनी चाहिए ?

A

$\sqrt{\frac{ GM ^{2}}{ ma }}$

B

$\frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 GM }{ a }}$

C

$4 \sqrt{\frac{ GM }{ a }}$

D

$2 \sqrt{\frac{ GM }{ a }}$

(JEE MAIN-2020)

Solution

$\frac{G M}{x^{2}}=\frac{G(16 M)}{(10 a-x)^{2}}$

$\frac{1}{x}=\frac{4}{(10 a-x)} \quad \Rightarrow 4 x=10 a-x$

$x=2 a$ $….(i)$

$COME$

$-\frac{ GMm }{8 a }-\frac{ G (16 M ) m }{2 a }+ KE$

$=-\frac{ GMm }{2 a }-\frac{ G (16 M ) m }{8 a }$

$KE = GMm \left[\frac{1}{8 a }+\frac{16}{2 a }-\frac{1}{2 a }-\frac{16}{8 a }\right]$

$KE = GMm \left[\frac{1+64-4-16}{8 a }\right]$

$\frac{1}{2} mv ^{2}= GMm \left[\frac{45}{8 a }\right]$

$V =\sqrt{\frac{90 GM }{8 a }}$

$V =\frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 GM }{ a }}$

Standard 11

Physics

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यदि पृथ्वी तल पर गुरुत्वीय त्वरण $‘g’$ है तो $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी तल से पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के बराबर ऊँचाई $h$ तक उठाने में उसकी स्थितिज ऊर्जा में वृ़िद्ध होगी

medium

(AIEEE-2004)

एक $(2 M )$ द्रव्यमान की वस्तु चार द्रव्यमानों $\{ m , M$ $- m , m , M – m \}$ में टूटती है, तो चित्रानुसार एक वर्ग के रूप में व्यवस्थित किए जाते हैं। $\frac{ M }{ m }$ का अनुपात, जिसके लिए निकाय की गुरूत्वीय र्थितिज ऊर्जा अधिकतम हो जाती है $x : 1$ होता है। $x$ का मान $……..$ है।

hard

(JEE MAIN-2021)

$m$ द्रव्यमान की वस्तु को पृथ्वी की सतह से $nR $ ऊँचाई तक ले जाया जाता है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या है)

medium

सही विकल्प का चयन कीजिए :

$(a)$ बढ़ती तुंगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(b)$ बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व को गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

$(d)$ पृथ्वी के केन्द्र से $r_{2}$ तथा $r_{1}$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m\left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)$ सूत्र $m g\left(r_{2}-r_{1}\right)$ से अधिक/कम यथार्थ है।

medium

$m$ द्रव्यमान के एक पिण्ड को $2R$ त्रिज्या की कक्षा से $3R$ त्रिज्या की कक्षा में भेजने के लिए आवश्यक ऊर्जा है ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)

medium

(AIEEE-2002)