એક ગોળાકાર કેપેસીટરના અંદરના ગોળાની ત્રિજ્યા $12\, cm$ અને બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા $13 \,cm$ છે. બહારના ગોળાનું અર્થિંગ $(Earthing)$ કરી દીધેલું છે અને અંદરના ગોળા પર $2.5\; \mu C $ વિદ્યુતભાર આપેલ છે. બે સમકેન્દ્રિય ગોળાઓ વચ્ચેના અવકાશને ડાયઇલેક્ટ્રીક અચળાંક $32$ ધરાવતા પ્રવાહી વડે ભરી દીધેલ છે.

$(a)$ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ શોધો.

$(b)$ અંદરના ગોળાનું સ્થિતિમાન કેટલું હશે?

$(c)$ આ કેપેસીટરના કેપેસીટન્સને $12 \,cm$ ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા ગોળાના કેપેસીટન્સ સાથે સરખાવો. અલગ ગોળા માટેનું મૂલ્ય ખૂબ નાનું કેમ છે તે સમજાવો.

Radius of the inner sphere, $r_{2}=12 \,cm =0.12\, m$

Radius of the outer sphere, $r_{1}=13 \,cm =0.13 m$

Charge on the inner sphere, $q=2.5\, \mu\, C=2.5 \times 10^{-6}\, C$

Dielectric constant of a liquid, $\epsilon_{r}=32$

$(a)$ Capacitance of the capacitor is given by the relation,

$C=\frac{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon_{r} r_{1} r_{2}}{r_{1}-r_{2}}$ Where,

$\epsilon_{0}=$ Permittivity of free space $=8.85 \times 10^{-12} \,C ^{2} \,N ^{-1} \,m ^{-2}$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \,N\, m ^{2}\, C ^{-2}$

$\therefore C=\frac{32 \times 0.12 \times 0.13}{9 \times 10^{9} \times(0.13-0.12)}$

$=5.5 \times 10^{-9}\, F$

Hence, the capacitance of the capacitor is approximately $5.5 \times 10^{-9} \,F$

$(b)$ Potential of the inner sphere is given by,

$V=\frac{q}{C}$

$=\frac{2.5 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^{-9}}=4.5 \times 10^{2} \,V$

Hence, the potential of the inner sphere is $4.5 \times 10^{2} \,V$

$(c)$ Radius of an isolated sphere, $r=12 \times 10^{-2} \,m$

Capacitance of the sphere is given by the relation, $C^{\prime}=4 \pi \in_{0} r$

$=4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^{-12}$

$=1.33 \times 10^{-11} \,F$

The capacitance of the isolated sphere is less in comparison to the concentric spheres. This is because the outer sphere of the concentric spheres is earthed. Hence, the potential difference is less and the capacitance is more than the isolated sphere.