एक गोलीय संधारित्र के भीतरी गोले की त्रिज्या $12 \,cm$ तथा बाहरी गोले की त्रिज्या $13\, cm$ है। बाहरी गोला भू-संपर्कित है तथा भीतरी गोले पर $2.5\, \mu C$ का आवेश दिया गया है। संकेंद्री गोलों के बीच के स्थान में $32$ परावैध्यूतांक का द्रव भरा है।

$(a)$ संधारित्र की धारिता ज्ञात कीजिए।

$(b)$ भीतरी गोले का विभव क्या है?

$(c)$ इस संधारित्र की धारिता की तुलना एक $12 \,cm$ त्रिज्या वाले किसी वियुक्त गोले की धारिता से कीजिए। व्याख्या कीजिए कि गोले की धारिता इतनी कम क्यों है।

Radius of the inner sphere, $r_{2}=12 \,cm =0.12\, m$

Radius of the outer sphere, $r_{1}=13 \,cm =0.13 m$

Charge on the inner sphere, $q=2.5\, \mu\, C=2.5 \times 10^{-6}\, C$

Dielectric constant of a liquid, $\epsilon_{r}=32$

$(a)$ Capacitance of the capacitor is given by the relation,

$C=\frac{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon_{r} r_{1} r_{2}}{r_{1}-r_{2}}$ Where,

$\epsilon_{0}=$ Permittivity of free space $=8.85 \times 10^{-12} \,C ^{2} \,N ^{-1} \,m ^{-2}$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \,N\, m ^{2}\, C ^{-2}$

$\therefore C=\frac{32 \times 0.12 \times 0.13}{9 \times 10^{9} \times(0.13-0.12)}$

$=5.5 \times 10^{-9}\, F$

Hence, the capacitance of the capacitor is approximately $5.5 \times 10^{-9} \,F$

$(b)$ Potential of the inner sphere is given by,

$V=\frac{q}{C}$

$=\frac{2.5 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^{-9}}=4.5 \times 10^{2} \,V$

Hence, the potential of the inner sphere is $4.5 \times 10^{2} \,V$

$(c)$ Radius of an isolated sphere, $r=12 \times 10^{-2} \,m$

Capacitance of the sphere is given by the relation, $C^{\prime}=4 \pi \in_{0} r$

$=4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^{-12}$

$=1.33 \times 10^{-11} \,F$

The capacitance of the isolated sphere is less in comparison to the concentric spheres. This is because the outer sphere of the concentric spheres is earthed. Hence, the potential difference is less and the capacitance is more than the isolated sphere.