अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की स्पर्श प्रत्येक निर्देशाक्ष से इकाई लम्बाई का अन्त: खण्ड काटता है, तो बिन्दु $(a, b)$ निम्न समकोणीय अतिपरवलय पर होगा 

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए

नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$, हैं तथा $(2,3)$ से होकर जाता है।

माना अतिपरवलय $a^2 x^2-y^2=b^2$ की स्पर्श रेखा $\lambda x -2 y =\mu$ है। तब $\left(\frac{\lambda}{ a }\right)^2-\left(\frac{\mu}{ b }\right)^2$ बराबर है:

अतिपरवलय $9{x^2} - 16{y^2} - 18x - 32y - 151 = 0$ का नाभिलम्ब है

यदि एक अतिपरवलय बिन्दु $P (10,16)$ से होकर जाता है तथा इसके शीर्ष $(\pm 6,0)$ पर हैं, तो $P$ पर इसके अभिलम्ब का समीकरण है 

माना अतिपरवलय $\mathrm{H}$ की नाभियाँ $\mathrm{A}(1 \pm \sqrt{2}, 0)$ तथा उत्केन्द्रता $\sqrt{2}$ है। तो $\mathrm{H}$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :