$M$ દ્રવ્યમાન અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ એક કૃત્રિમ ઉપગ્રહ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. કેપ્લરના બીજા નિયમ અનુસાર ઉપગ્રહના આવર્તકાળનો વર્ગ, કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં છે. $\left( {{T^2}\alpha \,{r^3}} \right)$) તો પારિમાણિક વિશ્લેષણના આધારે સાબિત કરો કે $T\, = \,\frac{k}{R}\sqrt {\frac{{{r^3}}}{g}} $ જ્યાં $k$ પરિમાણરહિત અચળાંક અને $g$ ગુરુત્વપ્રવેગ છે. 

$\therefore b=-\frac{1}{2}$કેપ્લરના ત્રીજી નિયમ અનુસાર $T \propto r^{\frac{3}{2}}$ अને $T ન R R$ અને $g$ વિધેય તરીકે લેતાં,

$T \propto r^{\frac{3}{2}} R ^{a} g ^{b} \quad$ જ્યાં $, a, b \in R$

$\therefore T =k r^{\frac{3}{2}} R ^{a} g ^{b}$$......................(1)$

જ્યયાં $k=$ પરિમાણરહિત સપ્રમાણાતાનો અચળાંક છે.

બંને બાજુના પરિમાણ લેતાં,

$\left[ M ^{0} L ^{0} T ^{ l }\right]=\left[ L ^{1}\right]^{\frac{3}{2}} \times\left[ L ^{1}\right]^{a} \times\left[ L ^{ l } T ^{-2}\right]^{b}$

$= L ^{\frac{3}{2}} \times L ^{a} \times L ^{b} T ^{-2 b}$

$= M ^{0} L ^{\frac{3}{2}+a+b} T ^{-2 b}$

બંને બાજુના $M, L, T$ની ઘાત સરખાવતાં,

$\frac{3}{2}+a+b=0$$......................(2)$

$-2 b=1$$............................(3)$

$\therefore b=-\frac{1}{2}$

$\therefore$ સમીકરણ $(2)$ પરથી

$\frac{3}{2}+a-\frac{1}{2}=0$

$\therefore a=-1$$........................................(4)$

સમી.(1)માં $a=-1$,$b=-\frac{1}{2}$ મુક્તા,

$T =k r^{\frac{3}{2}} R ^{-1} g^{-\frac{1}{2}}$

$\therefore \quad T =\frac{k}{ R } \sqrt{\frac{r^{3}}{g}}$