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3 and 4 .Determinants and Matrices
hard
यदि ${a^{ - 1}} + {b^{ - 1}} + {c^{ - 1}} = 0$ इस प्रकार है कि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}\,} \right| = \lambda $, तो $\lambda $ का मान होगा
A
$0$
B
$abc$
C
$-abc$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}\,} \right| = \lambda $
${C_2} \to {C_2}- {C_1}$ और ${C_3} \to {C_3} – {C_1},$
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&{ – a}&{ – a}\\1&b&0\\1&0&c\end{array}\,} \right|$
${R_3}$ के सापेक्ष विस्तार करने पर,
$ab + bc + ca + abc = \lambda $…….$(i)$
दिया है, ${a^{ – 1}} + {b^{ – 1}} + {c^{ – 1}} = 0$
==> $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$
==> $ab + bc + ca = 0$
==> $\lambda = abc$, समी. $(i)$ से.
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