$\alpha$ के निम्नलिखित मानों में कौन सा (से) मान समीकरण

$\left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2 \alpha)^2 & (1+3 \alpha)^2 \\ (2+\alpha)^2 & (2+2 \alpha)^2 & (2+3 \alpha)^2 \\ (3+\alpha)^2 & (3+2 \alpha)^2 & (3+3 \alpha)^2\end{array}\right|=-648 \alpha$ ?

$(A)$ $-4$ $(B)$ $9$ $(C)$ $-9$ $(D)$ $4$

ऐसे सभी भिन्न (distinct) $x \in R$, जिनके लिए $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ 2 x & 4 x^2 & 1+8 x^3 \\ 3 x & 9 x^2 & 1+27 x^3\end{array}\right|$=$10$ है, की कुल संख्या है

$\theta \in(0, \pi / 3)$ का एक मान, जिसके लिये $\left|\begin{array}{ccc}1+\cos ^{2} \theta & \sin ^{2} \theta & 4 \cos 6 \theta \\ \cos ^{2} \theta & 1+\sin ^{2} \theta & 4 \cos 6 \theta \\ \cos ^{2} \theta & \sin ^{2} \theta & 1+4 \cos 6 \theta\end{array}\right|=0$ है

यदि ${U_n} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}\,} \right|$ , तब $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ का मान है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} - ab}&{b - c}&{bc - ac}\\{ab - {a^2}}&{a - b}&{{b^2} - ab}\\{bc - ac}&{c - a}&{ab - {a^2}}\end{array}\,} \right| = $

यदि ${a^{ - 1}} + {b^{ - 1}} + {c^{ - 1}} = 0$ इस प्रकार है  कि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}\,} \right| = \lambda $, तो $\lambda $ का मान होगा