- Home
- Standard 11
- Mathematics
ઉપવલયો $E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$ ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય $E_k$ ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે $C_K$ છે.જો $r_k$ એ વર્તુળ $C_k$ ની ત્રિજ્યા હોય, તો $\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$ નું મૂલ્ય $........$ છે.
$3080$
$3210$
$3320$
$2870$
Solution
$Kx x ^2+ K ^2 y ^2=1$
$\frac{ x ^2}{1 / K }+\frac{ y ^2}{1 / K ^2}=1$
Now
Equation of
$A _1 B _2 ; \frac{ x }{1 / \sqrt{ K }}+\frac{ y }{1 / K }=1 \Rightarrow \sqrt{ K } x + Ky =1$
$r_K=\perp r$ distance of $(0,0)$ from line $A_1 B_1$
$r _{ L }=\left|\frac{(0+0-1)}{\sqrt{ K + K ^2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{ K + K ^2}}$
$\frac{1}{ r _{ K }^2}= K + K ^2 \Rightarrow \sum \limits_{ k =1}^{20} \frac{1}{ r _{ K }^2}=\sum \limits_{ K =1}^{20}\left( K + K ^2\right)$
$=\frac{20 \times 21}{2}+\frac{20.21 .41}{6} K +\sum \limits_{ K =1}^{20} K ^2$
$=210+10 \times 7 \times 41$
$=210+2870$
$=3080$
