12 મી લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ખસે છે કે જ?

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

$12$ મી લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ખસે છે કે જેથી તેના અંત્યબિંદુઓ યામાક્ષો પર રહે. $x-$ અક્ષ પરના અંત્યબિંદુથી $3$ મી દૂર આવેલ સળિયા પરના બિંદુ $P$ નો બિંદુગણ શોધો.

A

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

B

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

C

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

D

$\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$

Solution

Let $AB$ be the rod making an angle $\theta$ with $O X$ and $P ( x ,\, y )$ be the point on it such that $AP =3\,cm$

Then, $PB = AB – AP =(12-3)\, cm =9\, cm$ $[ AB =12 \,cm ]$

From $P$, draw $PQ \perp OY$ and $PR \perp OX$.

In $\Delta PBQ$ , $\cos \theta=\frac{ PQ }{ PB }=\frac{x}{9}$

In $\Delta PRA$ , $\sin \theta=\frac{ PR }{ PA }=\frac{y}{3}$

since, $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$

$\left(\frac{y}{3}\right)^{2}+\left(\frac{x}{9}\right)^{2}=1$

Or, $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Thus, the equation of the locus of point $P$ on the rod is $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^2} {9}=1$.

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

પ્રથમ ચરણમાં રેખા $y=m x$ અને ઉપવલય $2 x^{2}+y^{2}=1$ બિંદુ $\mathrm{P}$ આગળ છેદે છે . જો બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંભ અક્ષોને $\left(-\frac{1}{3 \sqrt{2}}, 0\right)$ અને $(0, \beta)$ આગળ છેદે છે તો $\beta$ મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2020)

બિંદુ $(3, -2)$ આગળ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

easy

જો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ (તેની અક્ષોને અનુક્રમે $x$ અને $y$ ની અક્ષ તરીકે લેતા) ના અંત્યબિંદુનું નાભિ અંતર $k$ હોય અને તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2h$ હોય તો તેનું સમીકરણ :

medium

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,1$ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા અને કેન્દ્ર (0, 3) ધરાવતા વર્તૂળનું સમીકરણ :

normal

જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{27}} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ પરના બિંદુએથી બનાવેલ સ્પર્શક યામાક્ષોને બિંદુ $A$ અને $B$ માં છેદે તથા $O$ એ ઉંગમબિંદુ હોય તો ત્રિકોણ $OAB$ નું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ચો. એકમ માં મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2016)