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नीचे दी गई प्रेक्षणों के दो समूहों की सांख्यिकी का विचार कीजिए
| आकार | माध्य | प्रसरण | |
| प्रेक्षण $I$ | $10$ | $2$ | $2$ |
| प्रेक्षण $II$ | $n$ | $3$ | $1$ |
यदि इन दोनों प्रेक्षणों को मिलाकर बने समूह का प्रसरण $\frac{17}{9}$ है, तो $n$ का मान बराबर है
$8$
$10$
$5$
$15$
Solution
$\sigma^{2}=\frac{ n _{1} \sigma_{1}^{2}+ n _{2} \sigma_{2}^{2}}{ n _{1}+ n _{2}}+\frac{ n _{1} n _{2}}{\left( n _{1}+ n _{2}\right)}\left(\overline{ x }_{1}-\overline{ x }_{2}\right)^{2}$
$n _{1}=10, n _{2}= n , \sigma_{1}^{2}=2, \sigma_{2}^{2}=1$
$\overline{ x }_{1}=2, \overline{ x }_{2}=3, \sigma^{2}=\frac{17}{9}$
$\frac{17}{9}=\frac{10 \times 2+ n }{ n +10}+\frac{10 n }{( n +10)^{2}}(3-2)^{2}$
$\frac{17}{9}=\frac{(n+20)(n+10)+10 n}{(n+10)^{2}}$
$17 n^{2}+1700+340 n=90 n+9\left(n^{2}+30 n+200\right)$
$8 n^{2}-20 n-100=0$
$2 n^{2}-5 n-25=0$
$(2 n+5)(n-5)=0 \Rightarrow n=\frac{-5}{2} \,(Rejected) , 5$
Hence $n =5$
