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समान लंबाई के दो ताप मापकों, $T_1$ एवं $T_2$ पर विचार कीजिये जिनका उपयोग $\theta_1$ से $\theta_2$ के बीच के तापमान में किया जाता है। $T_1$ में पारा द्रव भरा है तथा $T _2$ में ब्रोमीन भरी है। $\theta_1$ तापमान पर दोनों द्रवों का आयतन समान है। पारा एवं ब्रोमीन के आयतन प्रसार गुणांक क्रमशः $18 \times 10^{-5} \,K ^{-1}$ तथा $108 \times 10^{-5} \,K ^{-1}$ हैं। ताप में समान वृद्धि होने पर दोनों द्रवों की लंबाई में वृद्धि भी एक समान होती है। यदि दोनों ताप मापकों की केशकीय नालियों के व्यास $d_1$ एवं $d_2$ हों तो $d_1: d_2$ का अनुपात इनमें से किसके निकटतम होगा?
$6.0$
$2.5$
$0.6$
$0.4$
Solution
(d)
Ratio of increase in volume per unit original volume per degree rise of temperature of mercury and bromine is
$\frac{\left\{\frac{\left(V_\theta-V_{\theta_1}\right)_{ Hg }}{V_{\theta_1} \cdot \Delta \theta}\right\}}{\left\{\frac{\left(V_\theta-V_{\theta_1}\right)_{ Br }}{V_{\theta_1} \cdot \Delta \theta}\right\}}=$ $\frac{\gamma_{ Hg }}{\gamma_{ Br }}$
$\Rightarrow \frac{\left(V_\theta-V_{\theta_1}\right)_{ Hg }}{\left(V_\theta-V_{\theta_1}\right)_{ Br }}=\frac{\gamma_{ Hg }}{\gamma_{ Br }}$
$\left[\therefore\left(V_{\theta_1}\right)_{ Hg }=\left(V_{\theta_1}\right)_{ Br _{ I }}\right]$
$ \Rightarrow\frac{\left(\Delta l \cdot \frac{\pi d_1^2}{4}\right)_{ Hg }}{\left(\Delta l \cdot \frac{\pi d_2^2}{4}\right)_{ Br }}=\frac{\gamma_{ Hg }}{\gamma_{ Br }}$
$\Rightarrow \frac{d_1^2}{d_2^2}=\frac{\gamma_{ Hg }}{\gamma_{ Br }} \quad\left[\therefore \Delta l_{ Hg }=\Delta l_{ Br }\right]$
$\Rightarrow \frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{\gamma_{ Hg }}{\gamma_{ Br }}}$
Substituting values in above equation, we have
$\Rightarrow \quad \frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{18 \times 10^{-5}}{108 \times 10^{-5}}}=\sqrt{\frac{1}{6}} \approx 0.4$