બે બિંદુવત્ વિધુતભારો વચ્ચેના સ્થિતવિદ્યુત બળ માટેનો કુલંબનો નિયમ અને બે સ્થિર બિંદુવડૂ દળો વચ્ચેના ગુરુત્વબળ માટેનો ન્યૂટનનો નિયમ એ બંનેનો આધાર વિધુતભારો/દળો વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત-વર્ગ પર છે.

$(a)$ $(i)$ ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટીન અને $(ii)$ બે પ્રોટોન વચ્ચે લાગતા આ બળોના માનના ગુણોત્તર પરથી તેમની પ્રબળતાની સરખામણી કરો.

$(b)$ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન $1{\rm{  }}\mathop A\limits^o \left( { \approx {{10}^{ - 10}}\,m} \right)$ દૂર હોય ત્યારે તેમના પરસ્પર આકર્ષણ બળથી ઉદ્ભવતા ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોનના પ્રવેગ શોધો. $\left(m_{p}=1.67 \times 10^{-27} \,kg , m_{e}=9.11 \times 10^{-31}\, kg \right)$. 

$(a)$ $(i)$ $r$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું વિદ્યુતબળ

$F_{e}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$

જ્યાં, ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે બળ આકર્ષણ પ્રકારનું છે. આને અનુરૂપ ગુરુત્વબળ (હંમેશાં આકર્ષણ બળ છે.)

$F_{c}=-G \frac{m_{p} m_{e}}{r^{2}}$

જ્યાં, $m_{p}$ અને $m_{e}$ અનુક્રમે પ્રોટીન અને ઇલેક્ટ્રૉનનાં દળ છે.

$\left|\frac{F_{e}}{F_{G}}\right|=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p} m_{e}}=2.4 \times 10^{39}$

$(ii)$ આ જ રીતે, $r$ અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચે લાગતા વિધુતબળ અને ગુરુત્વબળનો ગુણોત્તર

$\left|\frac{F_{e}}{F_{G}}\right|=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p} m_{p}}=1.3 \times 10^{36}$

 જો કે અત્રે એ જણાવવું જોઈએ કે બે બળોનાં ચિહ્નો જુદાં છે. બે પ્રોટોન માટે, ગુરુત્વબળ આકર્ષણ પ્રકારનું અને કુલંબ બળ અપાકર્ષણ પ્રકારનું હોય છે. ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચે (ન્યુક્લિયસમાં બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર $ \sim {10^{ - 15}}\,m$ હોય છે.) લાગતા બળોના વાસ્તવિક મૂલ્યો $F_{e} \sim 230\, N$ અને ${F_G} \sim 1.9 \times {10^{ - 34}}\,N$ છે.

આ બે બળોનો (પરિમાણરહિત) ગુણોત્તર દર્શાવે છે કે વિધુતબળો ગુરુત્વબળો કરતાં અત્યંત પ્રબળ છે. 

$(b)$ પ્રોટોન વડે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા બળ $F$ નું માન, ઇલેક્ટ્રૉન વડે પ્રોટોન પર લાગતા બળના માન જેટલું જ છે, જો કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનાં દળ જુદાં-જુદાં છે. આમ, બળનું માન

$\left| F \right| = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{e^2}}}{{{r^2}}} = 8.987 \times {10^9}N\frac{{N{m^2}}}{{{C^2}}}\frac{{{{\left( {1.6 \times {{10}^{ - 19}}\,C} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{10}^{ - 10}}\,m} \right)}^2}}}$

$=2.3 \times 10^{-8} \,N$

ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F =ma$ નો ઉપયોગ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનનો પ્રવેગ

$a=2.3 \times 10^{-8}\, N / 9.11 \times 10^{-31}\, kg $$=2.5 \times 10^{22} \,m / s ^{2}$

આ મૂલ્યને ગુરુત્વપ્રવેગના મૂલ્ય સાથે સરખાવતાં, આપણે એવો નિષ્કર્ષ તારવી શકીએ કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ પર ગુરુત્વક્ષેત્રની અસર અવગણ્ય હોય છે અને પ્રોટોન વડે લાગતા કુલંબ બળની અસર નીચે તે ખૂબ મોટો પ્રવેગ અનુભવે છે. પ્રોટોનના પ્રવેગનું મૂલ્ય

 $2.3 \times 10^{-8} \,N / 1.67 \times 10^{-27} \,kg $$=1.4 \times 10^{19}\, m / s ^{2}$ છે.