Determine $n$ if

$^{2 n} C_{3}:\,^{n} C_{3}=12: 1$

$\frac{{^{2n}{C_3}}}{{^n{C_3}}} = \frac{{12}}{1}$

$\Rightarrow \frac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !} \times \frac{3 !(n-3) !}{n !}=\frac{12}{1}$

$\Rightarrow \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !} \times \frac{(n-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) !}=12$

$\Rightarrow \frac{2(2 n-1)(2 n-2)}{(n-1)(n-2)}=12$

$\Rightarrow \frac{4(2 n-1)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=12$

$\Rightarrow \frac{(2 n-1)}{(n-2)}=3$

$\Rightarrow 2 n-1=3(n-2)$

$\Rightarrow 2 n-1=3 n-6$

$\Rightarrow 3 n-2 n=-1+6$

$\Rightarrow n=5$