कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष $(-4,5),(0,7),(5,-5)$ और $(-4,-2)$ हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष $(-4,5),(0,7),(5,-5)$ और $(-4,-2)$ हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Let $ABCD$ be the given quadrilateral with vertices $A(-4,5), B(0,7), C(5,-5),$ and $D(-4,- 2)$.
Then, by plotting $A, B, C$ and $D$ on the Cartesian plane and joining $A B, B C, C D,$ and $D A,$ the given quadrilateral can be drawn as
To find the area of quadrilateral $ABCD$, we draw one diagonal, say $AC$.
Accordingly, area $(ABCD)$ $=$ area $(\Delta ABC )+$ area $(\Delta ACD )$
We know that the area of a triangle whose vertices are $\left( x _{1}, y _{1}\right),\left( x _{2}, y _{2}\right),$ and $\left( x _{3}, y _{3}\right)$ is
$\frac{1}{2}\left|x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right|$
Therefore, area of $\Delta ABC$
$=\frac{1}{2} |-4(7+5)+0(-5-5)+5(5-7)$ unit$^{2} |$
$=\frac{1}{2}|-4(7+5)+0(-5-5)+5(5-7)|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|-4(12)+5(-2)|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|-48-10|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|-58|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2} \times 58$ unit$^{2}$
$=29$ unit$^{2}$
Area of $\triangle ACD$
$=\frac{1}{2}|-4(-5+2)+5(-2-5)+(-4)(5-5)|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|-4(-3)+5(-7)-4(10)|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|12-35-40|$ unit$^{2}$
$=\frac{1}{2}|-63|$ unit$^{2}$
$=\frac{63}{2}$ unit$^{2}$
Thus, area $( ABCD )=\left(29+\frac{63}{2}\right)$ unit$^{2}=\frac{58+63}{2}$ unit$^{2}=\frac{121}{2}$ unit$^{2}$
Similar Questions
समतल में स्थित किसी बिन्दु $P$ से रेखाओं $x-y=0$ तथा $x+y=0$ की दूरी क्रमशः $d_1(P)$ तथा $d_2(P)$ है। यदि क्षेत्र $R$ उन सभी बिन्दुओं $P$ से बना है जो प्रथम चतुर्थांश (quadrant) में स्थित है तथा $2 \leq d_1(P)+d_2(P) \leq 4$ को संतुष्ट करते है, तब क्षेत्र $R$ का क्षेत्रफल है।
समतल में स्थित किसी बिन्दु $P$ से रेखाओं $x-y=0$ तथा $x+y=0$ की दूरी क्रमशः $d_1(P)$ तथा $d_2(P)$ है। यदि क्षेत्र $R$ उन सभी बिन्दुओं $P$ से बना है जो प्रथम चतुर्थांश (quadrant) में स्थित है तथा $2 \leq d_1(P)+d_2(P) \leq 4$ को संतुष्ट करते है, तब क्षेत्र $R$ का क्षेत्रफल है।
- [IIT 2014]
एक समान्तर चतुर्भुज की दो भुजायें, रेखा $x + y =3$ तथा $x-y+3=0$ के अनुदिश है। यदि इसके विकर्ण बिन्दु $(2,4)$ पर प्रतिच्छेद करते है, तो इसका एक शीर्ष होगा
एक समान्तर चतुर्भुज की दो भुजायें, रेखा $x + y =3$ तथा $x-y+3=0$ के अनुदिश है। यदि इसके विकर्ण बिन्दु $(2,4)$ पर प्रतिच्छेद करते है, तो इसका एक शीर्ष होगा
- [JEE MAIN 2019]
दर्शाइए कि रेखाओं
$y=m_{1} x+c_{1}, y=m_{2} x+c_{2}$ और $x=0$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ है।
दर्शाइए कि रेखाओं
$y=m_{1} x+c_{1}, y=m_{2} x+c_{2}$ और $x=0$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ है।
माना एक सांद्रिभुज त्रिगुण $ABC$ में $A$ बिंदु $(-1,0),$ $\angle \mathrm{A}=\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ है तथा $\mathrm{B}$, धनात्मक $\mathrm{x}$-अक्ष पर है। यदि $\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$ तथा रेखा $\mathrm{BC}$, रेखा $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ को $(\alpha, \beta)$ पर काटती है, तो $\frac{\beta^4}{\alpha^2}$ बराबर है :
माना एक सांद्रिभुज त्रिगुण $ABC$ में $A$ बिंदु $(-1,0),$ $\angle \mathrm{A}=\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ है तथा $\mathrm{B}$, धनात्मक $\mathrm{x}$-अक्ष पर है। यदि $\mathrm{BC}=4 \sqrt{3}$ तथा रेखा $\mathrm{BC}$, रेखा $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ को $(\alpha, \beta)$ पर काटती है, तो $\frac{\beta^4}{\alpha^2}$ बराबर है :
- [JEE MAIN 2024]
उन रेखाओं के समीकरण, जिन पर मूलबिन्दु से डाला गया लम्ब $x$-अक्ष से ${30^o}$ का कोण बनाता है एवं जो अक्षों के साथ $\frac{{50}}{{\sqrt 3 }}$ वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाता है,
उन रेखाओं के समीकरण, जिन पर मूलबिन्दु से डाला गया लम्ब $x$-अक्ष से ${30^o}$ का कोण बनाता है एवं जो अक्षों के साथ $\frac{{50}}{{\sqrt 3 }}$ वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाता है,