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9.Straight Line
hard
माना $\mathrm{A}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \mathrm{B}(3,4)$ तथा $(-6,-8)$ एक त्रिभुज के केन्द्रक. परिकेन्द्रक तथा लंबकेन्द्र है। तो बिंदु $P(2 a+3,7 b+5)$ की रेखा $2 x+3 y-4=0$ से, रेखा $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}-1=0$ समांतर नापी गई दूरी है।
A
$\frac{15 \sqrt{5}}{7}$
B
$\frac{17 \sqrt{5}}{6}$
C
$\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
D
$\frac{\sqrt{5}}{17}$
(JEE MAIN-2024)
Solution

$\mathrm{A}(\mathrm{a}, \mathrm{b}), \quad \mathrm{B}(3,4), \quad \mathrm{C}(-6,-8)$
$\Rightarrow \mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=0 \quad \Rightarrow \mathrm{P}(3,5)$
Distance from $P$ measured along $x-2 y-1=0$
$\Rightarrow x=3+r \cos \theta, \quad y=5+r \sin \theta$
Where $ \tan \theta=\frac{1}{2} $
$ r(2 \cos \theta+3 \sin \theta)=-17 $
$ \Rightarrow r=\left|\frac{-17 \sqrt{5}}{7}\right|=\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
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