જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી $9$ જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી $18$ જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી $9$ જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી $18$ જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
Let a be the first term and r be the common ratio of the $G.P.$
$a_{1}=a, a_{2}=a r, a_{3}=a r^{2}, a_{4}=a r^{3}$
By the given condition,
$a_{3}=a_{1}+9 \Rightarrow a r^{2}=a+9$ ..........$(1)$
$a_{4}=a_{4}+18 \Rightarrow a r=a r^{3}+18$ ..........$(2)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$a\left(r^{2}-1\right)=9 $ ..........$(3)$
$a r\left(1-r^{2}\right)=18$ ...........$(4)$
Dividing $(4)$ by $(3),$ we obtain
$\frac{\operatorname{ar}\left(1-r^{2}\right)}{a\left(r^{2}-1\right)}=\frac{18}{9}$
$\Rightarrow-r=2$
$\Rightarrow r=-2$
Substituting the value of $r$ in $(1),$ we obtain
$4 a=a+9$
$\Rightarrow 3 a=9$
$\therefore a=3$
Thus, the first four numbers of the $G.P.$ are $3,3(-2), 3(-2)^{2},$ and $3(-2)^{3}$
i.e., $3,-6,12$ and $-24$
Similar Questions
ધારોકે $\mathrm{ABC}$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. આપેલ ત્રિકોણ $\mathrm{ABC}$ ની બધી બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને એક નવો ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે અને આ પ્રક્રિયાનું અનંત વખત પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. જો આ પ્રક્કિયામાં બનતા તમામ ત્રિકોણોની પરિમિતિઓ નો સરવાળો $P$ હોય અને ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $Q$ હોય, તો ....................
ધારોકે $\mathrm{ABC}$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. આપેલ ત્રિકોણ $\mathrm{ABC}$ ની બધી બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને એક નવો ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે અને આ પ્રક્રિયાનું અનંત વખત પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. જો આ પ્રક્કિયામાં બનતા તમામ ત્રિકોણોની પરિમિતિઓ નો સરવાળો $P$ હોય અને ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $Q$ હોય, તો ....................
- [JEE MAIN 2024]
એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું દસમું પદ $9$ અને ચોથું પદ $ 4$ હોય, તો તેનું સાતમું પદ = …
એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું દસમું પદ $9$ અને ચોથું પદ $ 4$ હોય, તો તેનું સાતમું પદ = …
એક માણસ તેના ચાર મિત્રોને પત્ર લખે છે. તે દરેકને સૂચના આપે છે કે આ પત્ર તેમના અન્ય ચાર મિત્રોને મોકલે અને તેમને પણ આ જ પ્રમાણેની સાંકળ આગળ વધારવાની છે. માની લઈએ કે આ સાંકળ તૂટતી નથી અને દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ $50$ પૈસા આવે છે, તો $8$ મી વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ શોધો.
એક માણસ તેના ચાર મિત્રોને પત્ર લખે છે. તે દરેકને સૂચના આપે છે કે આ પત્ર તેમના અન્ય ચાર મિત્રોને મોકલે અને તેમને પણ આ જ પ્રમાણેની સાંકળ આગળ વધારવાની છે. માની લઈએ કે આ સાંકળ તૂટતી નથી અને દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ $50$ પૈસા આવે છે, તો $8$ મી વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ શોધો.
ધારો કે $\left\{a_k\right\}$ અને $\left\{b_k\right\}, k \in N$, એ અનુક્રમે $r _1$ અને $r _2$ સામાન્ય ગુણોત્તરવાળી એવી બે સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ છે, જ્યાં $a_1=b_1=4$ અને $r _1 < r _2$. ધારો કે $c _k=a_k+ b _k, k \in N$. જો $c _2=5$ અને $c _3=\frac{13}{4}$ હોય,તો $\sum \limits_{k=1}^{\infty} c _k-\left(12 a_6+8 b_4\right)=............$
ધારો કે $\left\{a_k\right\}$ અને $\left\{b_k\right\}, k \in N$, એ અનુક્રમે $r _1$ અને $r _2$ સામાન્ય ગુણોત્તરવાળી એવી બે સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ છે, જ્યાં $a_1=b_1=4$ અને $r _1 < r _2$. ધારો કે $c _k=a_k+ b _k, k \in N$. જો $c _2=5$ અને $c _3=\frac{13}{4}$ હોય,તો $\sum \limits_{k=1}^{\infty} c _k-\left(12 a_6+8 b_4\right)=............$
- [JEE MAIN 2023]
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : ${{x^3},{x^5},{x^7}, \ldots }$ પ્રથમ $n$ પદ
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : ${{x^3},{x^5},{x^7}, \ldots }$ પ્રથમ $n$ પદ