જો x,y,z એ સમગુણોતર શ્નેણીમાંં હોય અને {a^x} =

English

Gujarati

Hindi

8. Sequences and Series

easy

જો $x,\;y,\;z$ એ સમગુણોતર શ્નેણીમાંં હોય અને ${a^x} = {b^y} = {c^z}$ તે

A

${\log _a}c = {\log _b}a$

B

${\log _b}a = {\log _c}b$

C

${\log _c}b = {\log _a}c$

D

એકપણ નહિ

(IIT-1966) (IIT-1968)

Solution

(b) $x,\;y,\;z$ are in $G.P.$, then ${y^2} = x\;.\;z$

Now ${a^x} = {b^y} = {c^z} = m$

$ \Rightarrow $ $x{\log _e}a = y{\log _e}b = z{\log _e}c = {\log _e}m$

$ \Rightarrow $ $x = {\log _a}m,\;y = {\log _b}m,z = {\log _c}m$

Again as $x,\;y,\;z$ are in $G.P.$,

so $\frac{{y}}{x}=\frac{{z}}{y}$

$ \Rightarrow $$\frac{{{{\log }_b}m}}{{{{\log }_a}m}} = \frac{{{{\log }_c}m}}{{{{\log }_b}m}}$

$ \Rightarrow $${\log _b}a = {\log _c}b$.

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

$3$ અને $81$ વચ્ચે બે સંખ્યામાં ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.

medium

જો $1 + r + r^2 + …. + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8),$ હોય તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય ?

hard

જો $G_1 $ અને $G_2$ એ અનુક્રમે $ n_1 $ અને $n_2 $ કદની બે શ્રેણીઓના સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય, અને $G$ એ તેમની સંયુક્ત શ્રેણીનો સમગુણોત્તર મધ્યક હોય તો $log G$ કોના બરાબર થાય છે ?

hard

સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પ્રથમ $1$ છે. જો $4T_2 + 5T_3$ ન્યૂનત્તમ હોય, તો તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ?

medium

જો $b_1, b_2,……, b_n$ એ સંગુણોત્તર શ્રેઢી એવી છે કે જેથી $b_1 + b_2 = 1$ અને $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k} = 2} $ જ્યાં $b_2 < 0$ ,હોય તો $b_1$ ની કિમત મેળવો

normal