ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से $9$ अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से $18$ अधिक हो।

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Let a be the first term and r be the common ratio of the $G.P.$

$a_{1}=a, a_{2}=a r, a_{3}=a r^{2}, a_{4}=a r^{3}$

By the given condition,

$a_{3}=a_{1}+9 \Rightarrow a r^{2}=a+9$          ..........$(1)$

$a_{4}=a_{4}+18 \Rightarrow a r=a r^{3}+18$         ..........$(2)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$a\left(r^{2}-1\right)=9 $        ..........$(3)$

$a r\left(1-r^{2}\right)=18$          ...........$(4)$

Dividing $(4)$ by $(3),$ we obtain

$\frac{\operatorname{ar}\left(1-r^{2}\right)}{a\left(r^{2}-1\right)}=\frac{18}{9}$

$\Rightarrow-r=2$

$\Rightarrow r=-2$

Substituting the value of $r$ in $(1),$ we obtain

$4 a=a+9$

$\Rightarrow 3 a=9$

$\therefore a=3$

Thus, the first four numbers of the $G.P.$ are $3,3(-2), 3(-2)^{2},$ and $3(-2)^{3}$

i.e., $3,-6,12$ and $-24$

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यदि ${\log _a}x,\;{\log _b}x,\;{\log _c}x$ हरात्मक श्रेणी में हों, तो $a,\;b,\;c$ होंगे

यदि $x,\,2x + 2,\,3x + 3$ गुणोत्तर श्रेणी में हों, तो चौथा पद है

श्रेणी $5.05 + 1.212 + 0.29088 + ...\,\infty $ का योग होगा  

यदि किसी समान्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें, $r$ वें और $s$ वें पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो $(p - q),\;(q - r),\;(r - s)$ होंगे

माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ गुणोत्तर श्रेणी इस प्रकार है कि $a_{1}<0, a_{1}+a_{2}=4$ तथा $a_{3}+a_{4}=16$. यदि $\sum_{i=1}^{9} a_{i}=4 \lambda$ है, तो $\lambda$ बराबर है

  • [JEE MAIN 2020]