दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$
दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$
The given equation is $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ or $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{20^{2}}=1$
Here, the denominator of is greater than the denominator of $\frac{x^{2}}{100}$.
Therefore, the major axis is along the $y-$ axis, while the minor axis is along the $x-$ axis.
On comparing the given equation with, $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ we obtain $b=10$ and $a=20$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10 \sqrt{3}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(0,\, \pm 10 \sqrt{3})$
The coordinates of the vertices are $(0,\,±20)$
Length of major axis $=2 a =40$
Length of minor axis $=2 b =20$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{10 \sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 100}{20}=10$
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किसी दीर्घवृत्त का अर्द्वलघु अक्ष $OB$ तथा नाभियाँ $F$ और $F'$ हैं तथा कोण $FBF'$ समकोण है तब दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है
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- [AIEEE 2005]
दीर्घवृत्त $3{x^2} + 2{y^2} = 5$ पर बिन्दु $(1, 2)$ से खींची गयीं स्पर्श रेखाओं के बीच कोण है
दीर्घवृत्त $3{x^2} + 2{y^2} = 5$ पर बिन्दु $(1, 2)$ से खींची गयीं स्पर्श रेखाओं के बीच कोण है
माना $S$ तथा $S ^{\prime}$ दीर्घवृत्त की नाभि है तथा इसके लघुअक्ष का कोई एक सिरा $B$ है। यदि त्रिभुज $S ^{\prime} BS$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B =90^{\circ}$ तथा क्षेत्रफल $\left(\triangle S ^{\prime} BS \right)$ $=8$ वर्ग इकाई हो, तो दीर्घवृत्त के नाभिलम्ब की लम्बाई होगी
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- [JEE MAIN 2019]
दीर्घवृत्त (ellipse)
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
पर विचार कीजिए। माना कि $H (\alpha, 0), 0<\alpha<2$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $H$ से होती हुई एवं $y$-अक्ष के समांतर (parallel to the $y$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $E$ एवं $F$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $x$-अक्ष को एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेदित करती है। मान लिजिए कि $F$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $x$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $\phi$ बनाती है।
$List-I$
$List-II$
यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल
($P$) $\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल
($Q$) $1$
यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल
($R$) $\frac{3}{4}$
यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल
($S$) $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$
($T$) $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
सही विकल्प हैं :
दीर्घवृत्त (ellipse)
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
पर विचार कीजिए। माना कि $H (\alpha, 0), 0<\alpha<2$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $H$ से होती हुई एवं $y$-अक्ष के समांतर (parallel to the $y$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $E$ एवं $F$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $x$-अक्ष को एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेदित करती है। मान लिजिए कि $F$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $x$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $\phi$ बनाती है।
| $List-I$ | $List-II$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($P$) $\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($Q$) $1$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($R$) $\frac{3}{4}$ |
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सही विकल्प हैं :
- [IIT 2022]
माना त्रिज्या $4$ का एक वृत्त तथा दीर्घवृत्त $15 \mathrm{x}^2+19 \mathrm{y}^2=285$ संकेन्द्री है, तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ दीर्घवृत्त के लघु अक्ष से कौन सा कोण बनाती है?ined to the minor axis of the ellipse at the angle.
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- [JEE MAIN 2023]