આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ
$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$
આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ
$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$
The given equation is $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ or $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{20^{2}}=1$
Here, the denominator of is greater than the denominator of $\frac{x^{2}}{100}$.
Therefore, the major axis is along the $y-$ axis, while the minor axis is along the $x-$ axis.
On comparing the given equation with, $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ we obtain $b=10$ and $a=20$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10 \sqrt{3}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(0,\, \pm 10 \sqrt{3})$
The coordinates of the vertices are $(0,\,±20)$
Length of major axis $=2 a =40$
Length of minor axis $=2 b =20$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{10 \sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 100}{20}=10$
Similar Questions
ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ ની નાભિલંબના અત્યબિંદુએ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ............... $\mathrm{sq. \, units}$ મેળવો.
ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ ની નાભિલંબના અત્યબિંદુએ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ............... $\mathrm{sq. \, units}$ મેળવો.
- [IIT 2003]
જે ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $ 8 $ હોય અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $18 $ હોય, તે ઉપવલયનું સમીકરણ $ (a > b) .....$
જે ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $ 8 $ હોય અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $18 $ હોય, તે ઉપવલયનું સમીકરણ $ (a > b) .....$
શાંકવ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,$ ને રેખા $x\cos \alpha \,\, + \,y\sin \,\alpha \,\, = \,p\,\,$ ક્યારે સ્પર્શશે?
શાંકવ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,$ ને રેખા $x\cos \alpha \,\, + \,y\sin \,\alpha \,\, = \,p\,\,$ ક્યારે સ્પર્શશે?
અહી ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{\sqrt{3}} $ આપેલ છે . જો વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E$ ની નાભી $\mathrm{F}(\alpha, 0), \alpha>0$ હોય અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે . વર્તુળએ ઉપવલય $\mathrm{E}$ ને બે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ માં છેદે છે તો $\mathrm{PQ}^{2}$ ની કિમંત મેળવો.
અહી ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{\sqrt{3}} $ આપેલ છે . જો વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E$ ની નાભી $\mathrm{F}(\alpha, 0), \alpha>0$ હોય અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે . વર્તુળએ ઉપવલય $\mathrm{E}$ ને બે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ માં છેદે છે તો $\mathrm{PQ}^{2}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
ઉપવલયનું નાભિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ આગળ છે. રેખા $x = 4$ અને નિયામિકા છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે તો પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ મેળવો.
ઉપવલયનું નાભિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ આગળ છે. રેખા $x = 4$ અને નિયામિકા છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે તો પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ મેળવો.