दीर्घवृत्त $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, और उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।
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The given equation of the ellipse can be written in standard form as
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
since the denominator of $\frac{y^{2}}{9}$ is larger than the denominator of $\frac{x^{2}}{4},$ the major axis is along the $y-$ axis. Comparing the given equation with the standard equation
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$, we have $b=2$ and $a=3$
Also $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ $=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
and $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Hence the foci are $(0,\, \sqrt{5})$ and $(0,\,-\sqrt{5}),$ vertices are $(0,\,3)$ and $(0,\,-3),$ length of the major axis is $6$ units, the length of the minor axis is $4$ units and the eccentricity of the cllipse is $\frac{\sqrt{5}}{3}$.
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दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी नाभि $(-1,1)$ है जिसकी नियता $x - y + 3 = 0$ तथा जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है , होगा
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उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता जिसका नाभिलम्ब, नाभियों के बीच की दूरी के बराबर है, होगी
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दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :
$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;
$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;
$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?
$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है
$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है
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- [IIT 2019]
दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ की लम्बवत् स्पर्शियों के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ होगा
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यदि किसी दीर्घवृत्त के लघुअक्ष के दोनों सिरों को नाभियों से मिलाने वाली रेखाओं के मध्य कोण $\frac{\pi }{2}$ है, तो दीेर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है
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- [IIT 1997]