प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए
$b=3, c=4,$ केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ $x$ अक्ष पर
प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए
$b=3, c=4,$ केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ $x$ अक्ष पर
It is given that $b=3,\,\, c=4,$ centre at the origin; foci on the $x$ axis.
since the foci are on the $x-$ axis, the major axis is along the $x-$ axis.
Therefore, the equation of the ellipse will be of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,$ where a is the semimajor axis.
Accordingly, $b=3, \,\,c=4$
It is known that $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$\therefore a^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$
$\Rightarrow a=5$
Thus, the equation of the ellipse is $\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$ or $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
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बिंदु $(1,3)$ से दीर्घवृत्त $2 x^2+3 y^2=5$ पर डाली गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच न्यून कोण है :
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- [JEE MAIN 2022]
माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।
($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$
($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $\sec 5: 8$ $(D)$ $2: 3$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।
($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$
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दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
- [IIT 2016]
यदि रेखा $y = 2x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ को स्पर्श करती है, तो $c = $
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समीकरण $\frac{{{x^2}}}{{2 - r}} + \frac{{{y^2}}}{{r - 5}} + 1 = 0$ दीर्घवृत्त को प्रदर्शित करेगा यदि
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दीर्घवृत्त $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, और उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।
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