माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर एक बिंदु $P$ है। माना $P$ से होकर जाने वाली तथा $y$-अक्ष के समांतर रेखा $x^2+y^2=9$ के बिंदु $Q$ पर मिलती है तथा $P$ और $Q$, $X$ अंक्ष के एक ही ओर है | तो $P$ के दिर्ध्वृत पर  चलने पर $P Q$ पर एक बिंदु $R$ जिसके लिए $\mathrm{PR}: \mathrm{RQ}=4: 3$ हैं, के बिंदुपथ की उत्केन्द्रता है:

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए

दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm \sqrt{5}),$ लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(±1,0)$

मान लीजिए कि $x^2=4 k y, k > 0$ एक परवलय है, जिसका शीर्ष $A$ है। मान लें कि $B C$ इसका नाभि लंब $(latus\,rectum)$ है। एक दीर्घवृत, जिसका केंद्र $B C$ पर है और परवलय को $A$ पर छूता है, $B C$ को $D$ एवं $E$ बिन्दुओं पर इस प्रकार काटता है कि $B D=D E=E C(B, D, E, C$ के क्रम में)। दीर्घवृत की उत्केन्द्रता $(eccentricity)$ निम्न है :

यदि एक दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ है तथा इसकी नियताओं के बीच की दूरी $12$ है, तो इसकी नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई है

दीर्घवृत्तों $\mathrm{E}_{\mathrm{k}}: \mathrm{kx}^2+\mathrm{k}^2 \mathrm{y}^2=1, \mathrm{k}=1,2, \ldots ., 20$ का विचार कीजिए। माना $C_k$ वह वृत्त है, जो दीर्घवृत्त $E_k$ के अन्त्य बिंदुओं (एक लघु अक्ष पर तथा दूसरा दीर्घ अक्ष पर) को मिलाने वाली चार जीवाओं को स्पर्श करता है। यदि वृत्त $C_k$ की त्रिज्या $r_k$ है, तो $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\mathrm{r}_{\mathrm{k}}^2}$ का मान है :

किसी दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ व लघुअक्ष $8$ है तो इसकी उत्केन्द्रता होगी