રેખીય વિધુતભારથી ઘનતા $\lambda $ અને ${{r_0}}$ બિજ્યા ધરાવતા અનંત નળાકાર માટે સમસ્થિતિમાનનું સમીકરણ શોધો.

$r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ગોસિયન પૃષ્ઠ વિચારો.

$\int_{0}^{2 \pi r l} \overrightarrow{ E } \cdot d \overrightarrow{ S }=\frac{ Q }{\epsilon_{0}}$

$=\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}}$

ગોસના પ્રમેય પરથી,

$\left[ E _{r} S \cos \theta\right]_{0}^{2 \pi r l} =\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}}$

$E _{r} \times 2 \pi r l =\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}} \quad\left[\theta=0 \therefore \cos 0^{\circ}=1\right]$

$\therefore E _{r}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$

અનંત નળાકારની ત્રિજ્યા $r_{0}$ છે તેથી,

$V (r)- V \left(r_{0}\right)=-\int_{r_{0}}^{r} E d l$

$=-\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \log _{e} \frac{r}{r_{0}}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \log _{e} \frac{r_{0}}{r}$

કારણ કે, $\int_{r_{0}}^{r} \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r} d r=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \int_{r_{0}}^{r} \frac{1}{r} d r$

$V =\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \log _{e} \frac{r}{r_{0}}$

આપેલ $V$ માટે,

$\log _{e} \frac{r}{r_{0}}=-\frac{2 \pi \epsilon_{0}}{\lambda} \times\left[ V (r)- V \left(r_{0}\right)\right] r=r_{0} e^{-\frac{2 \pi \epsilon_{0}}{\lambda}\left[ V (r)- V \left(r_{0}\right)\right]}$

$\therefore r=r_{0} e^{-\frac{2 \pi \epsilon_{0}}{\lambda}\left[ V (r)- V \left(r_{0}\right)\right]}$