આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(0,\,\pm 13),$ અનુબધ્ધ અક્ષની લંબાઈ $24$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(0,\,\pm 13),$ અનુબધ્ધ અક્ષની લંબાઈ $24$
Foci $(0,\,\pm 13),$ the conjugate axis is of length $24$.
Here, the foci are on the $y-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
since the foci are $(0,\,\pm 13)$, $c=13$
since the length of the conjugate axis is $24$, $2 b=24 \Rightarrow b=12$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore a^{2}+12^{2}=13^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=169-144=25$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{144}=1$
Similar Questions
જો સુરેખા $\,x\cos \,\,\alpha \,\, + \,\,y\,\sin \,\,\alpha \,\, = \,\,p$ એ અતિવલય
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$ નો સ્પર્શક હોય , તો .....
જો સુરેખા $\,x\cos \,\,\alpha \,\, + \,\,y\,\sin \,\,\alpha \,\, = \,\,p$ એ અતિવલય
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$ નો સ્પર્શક હોય , તો .....
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
$e_{1}$ અને $e_{2}$ એ બે ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b<5)$ અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{16}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ માટે $e _{1} e _{2}=1$ થાય. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયના નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર હોય તો $(\alpha, \beta)$ ની જોડની કિમત શોધો.
- [JEE MAIN 2020]
એક અતિવલયની નાભિઓ $( \pm 2,0)$ અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{3}{2}$ છે. અતિવલય પરના પ્રથમ ચરણમાંના એક બિંદુ પર, રેખા $2 x+3 y=6$ ને લંબ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે.જો સ્પર્શક દ્વારા $x-$ અને $y-$અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ હોય, તો $|6 a|+|5 b|=..........$
એક અતિવલયની નાભિઓ $( \pm 2,0)$ અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{3}{2}$ છે. અતિવલય પરના પ્રથમ ચરણમાંના એક બિંદુ પર, રેખા $2 x+3 y=6$ ને લંબ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે.જો સ્પર્શક દ્વારા $x-$ અને $y-$અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ હોય, તો $|6 a|+|5 b|=..........$
- [JEE MAIN 2023]
અહી બિંદુઓ $\mathrm{A}\,(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $\mathrm{B}\,(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\pi / 2$ એ અતિવલય $2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=2$ પરના બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ આતિવલય ના બિંદુઓ $\mathrm{A}$ અને $\mathrm{B}$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુ હોય તો $(2 \beta)^{2}$ ની કિમંત મેળવો.
અહી બિંદુઓ $\mathrm{A}\,(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $\mathrm{B}\,(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\pi / 2$ એ અતિવલય $2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=2$ પરના બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ આતિવલય ના બિંદુઓ $\mathrm{A}$ અને $\mathrm{B}$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુ હોય તો $(2 \beta)^{2}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
રેખા $y = \alpha x + \beta $ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો ચલિતબિંદુ $P(\alpha ,\,\beta )$ નો બિંદુગણ મેળવો.
રેખા $y = \alpha x + \beta $ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો ચલિતબિંદુ $P(\alpha ,\,\beta )$ નો બિંદુગણ મેળવો.
- [AIEEE 2005]