- Home
- Standard 11
- Mathematics
$T$ એ વક્ર $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ અને $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે જે ચોથા ચરણમાંથી પસાર નથી થતો. જો $T$ એ $C _{1}$ ને ( $\left.x _{1}, y _{1}\right)$ અને $C _{2}$ ને $\left( x _{2}, y _{2}\right)$ આગળ સ્પર્શે છે તો $\left|2 x _{1}+ x _{2}\right|$ ની કિમંત $......$ થાય.
$19$
$18$
$17$
$20$
Solution
$T_{1}: y=m x \pm \sqrt{4 m^{2}+9}$
And $T_{2}: y=m x \pm \sqrt{42 m^{2}-13}$
So, $4\,m^{2}+9=42 m^{2}-143$
$38\,m ^{2}=152$
$m=\pm 2$
$c=\pm 5$
For given tangent not pass through $4^{\text {th }}$ quadrant
$T: y=2 x+5$
Now, comparing with $\frac{ xx _{1}}{4}+\frac{ yy _{1}}{9}=1$
We get, $\frac{x_{1}}{8}=-\frac{1}{5} \Rightarrow x_{1}=-\frac{8}{5}$
$\frac{ xx _{2}}{42}-\frac{ yy _{2}}{143}=1$
$2 x-y=-5$ we have
$x _{2}=-\frac{84}{5}$
So, $\left|2 x _{1}+ x _{2}\right|=\left|\frac{-100}{5}\right|=20$
