समीकरण $|1-i|^{x}=2^{x}$ के शून्येत्तर पूर्णाक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
समीकरण $|1-i|^{x}=2^{x}$ के शून्येत्तर पूर्णाक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
$|1-i|^{x}=2^{x}$
$\Rightarrow(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}})^{x}=2^{x}$
$\Rightarrow(\sqrt{2})^{x}=2^{x}$
$\Rightarrow 2^{x / 2}=2^{x}$
$\Rightarrow \frac{x}{2}=x$
$\Rightarrow x=2 x$
$\Rightarrow 2 x-x=0$
$\Rightarrow x=0$
Thus, $0$ is the only integral solution of the given equation. Therefore, the number of nonzero integral solutions of the given equation is $0 .$
Similar Questions
माना कि $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरूपित करता है एवं $i=\sqrt{-1}$ है। सम्मिश्र संख्याओं के सम्मुचय (set of complex numbers) में, समीकरण $\bar{z}-z^2=i\left(\bar{z}+z^2\right)$ के भिन्न मूलों (distinct roots) की संख्या. . . . . .है।
माना कि $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरूपित करता है एवं $i=\sqrt{-1}$ है। सम्मिश्र संख्याओं के सम्मुचय (set of complex numbers) में, समीकरण $\bar{z}-z^2=i\left(\bar{z}+z^2\right)$ के भिन्न मूलों (distinct roots) की संख्या. . . . . .है।
- [IIT 2022]
माना कि $|z|^3+2 z^2+4 \bar{z}-8=0$ को संतुष्ट करने वाली एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ है, जहाँ $\bar{z}$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी (conjugate) है। माना कि $z$ का काल्पनिक भाग (imaginary part) अशून्य (nonzero) है।
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
List-$I$
List-$II$
($P$) $|z|^2$ के बराबर हैं
($1$) $12$
($Q$) $|z-\bar{z}|^2$ के बराबर हैं
($2$) $4$
($R$) $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ के बराबर हैं
($3$) $8$
($S$) $|z+1|^2$ के बराबर हैं
($4$) $10$
($5$) $7$
सही विकल्प है:
माना कि $|z|^3+2 z^2+4 \bar{z}-8=0$ को संतुष्ट करने वाली एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ है, जहाँ $\bar{z}$ सम्मिश्र संख्या $z$ का संयुग्मी (conjugate) है। माना कि $z$ का काल्पनिक भाग (imaginary part) अशून्य (nonzero) है।
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List-$I$ | List-$II$ |
| ($P$) $|z|^2$ के बराबर हैं | ($1$) $12$ |
| ($Q$) $|z-\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($2$) $4$ |
| ($R$) $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ के बराबर हैं | ($3$) $8$ |
| ($S$) $|z+1|^2$ के बराबर हैं | ($4$) $10$ |
| ($5$) $7$ |
सही विकल्प है:
- [IIT 2023]
यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक $1$ है तथा कोणांक $\theta$, तब कोणांक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)$ बराबर है
यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक $1$ है तथा कोणांक $\theta$, तब कोणांक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)$ बराबर है
- [JEE MAIN 2013]
समीकरण $\left( {\frac{{3 - 4ix}}{{3 + 4ix}}} \right) = $ $\alpha - i\beta \,(\alpha ,\beta \,$वास्तविक) को संतुष्ट करने वाला $x$ का एक वास्तविक मान होगा, यदि
समीकरण $\left( {\frac{{3 - 4ix}}{{3 + 4ix}}} \right) = $ $\alpha - i\beta \,(\alpha ,\beta \,$वास्तविक) को संतुष्ट करने वाला $x$ का एक वास्तविक मान होगा, यदि
यदि $|{z_1}| = |{z_2}| = .......... = |{z_n}| = 1,$ तो $|{z_1} + {z_2} + {z_3} + ............. + {z_n}|$=
यदि $|{z_1}| = |{z_2}| = .......... = |{z_n}| = 1,$ तो $|{z_1} + {z_2} + {z_3} + ............. + {z_n}|$=