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नीचे दर्शाये गये चित्र में, एक कुचालक बेलनाकार पात्र का आयतन ${V_0}$ है। इसे एक चिकने पिस्टन (क्षेत्रफल = $A$ ) द्वारा दो समान भागों में बाँटा गया है। एक आदर्श गैस $({C_P}/{C_V} = \gamma )$ दाब, $P_1$ एवं ताप $T_1$ पर पात्र के बाँये भाग में भरी गयी है। एवं दाँये भाग में भी यही गैस दाब $ P_2$ एवं ताप $T_2$ पर भरी गयी है। पिस्टन धीरे से विस्थापित होता है, एवं साम्यावस्था में स्थिर हो जाता है। दोनों भागों का अंतिम दाब होगा (मान लीजिए $x$ = पिस्टन का विस्थापन है)
${P_2}$
${P_1}$
$\frac{{{P_1}{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2}} \right)}^\gamma }}}{{{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} + Ax} \right)}^\gamma }}}$
$\frac{{{P_2}{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2}} \right)}^\gamma }}}{{{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} + Ax} \right)}^\gamma }}}$
Solution
अंतत: पिस्टन साम्यावस्था में है इसलिए दोनों गैसों के दाब समान $(Pf)$ होने चाहिए।
यह दिया है अन्तिम अवस्था में आने में पिस्टन का विस्थापन $x$ है यदि पिस्टन का क्षेत्रफल $A$ माने तब अन्त में बाँये भाग एवं दाँये भाग के आयतन चित्रानुसार निम्न हैं
${V_L} = \frac{{{V_0}}}{2} + Ax$ एवं ${V_R} = \frac{{{V_0}}}{2} – Ax$
जैसा कि दिया गया है पात्र की दीवारें एवं पिस्टन पूर्णत: कुचालक है, अत: (चित्र से) बाँये भाग में गैस का रुद्धोष्म प्रसार होगा, एवं दाँये भाग में रुद्धोष्म संपीड़न होगा। तब बाँये भाग में रुद्धोष्म नियम से,
${P_1}{\left( {\frac{{{V_0}}}{2}} \right)^\gamma } = {P_f}{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} + Ax} \right)^\gamma }$ ….. $(i)$
एवं दाँये भाग में रुद्धोष्म नियम से
${P_2}{\left( {\frac{{{V_0}}}{2}} \right)^\gamma } = {P_f}{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} – Ax} \right)^\gamma }$ ….. $(ii)$
समीकरण $(i)$ व $ (ii)$ से
$\frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} + Ax} \right)}^\gamma }}}{{{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2} – Ax} \right)}^\gamma }}}$ Þ $Ax = \frac{{{V_0}}}{2}\frac{{\left[ {P_1^{1/\gamma } – P_2^{1/\gamma }} \right]}}{{\left[ {P_1^{1/\gamma } + P_2^{1/\gamma }} \right]}}$
अब समीकरण $ (i)$ से
${P_f} = \frac{{{P_1}{{\left( {\frac{{{V_0}}}{2}} \right)}^\gamma }}}{{{{\left[ {\frac{{{V_0}}}{2} + Ax} \right]}^\gamma }}}$
