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$p , q \in R , q > 0$, के लिए वास्तविक मान फलन $f ( x )=( x - p )^2- q , x \in R$ का विचार कीजिए। माना $a _1, a _2, a _3$ तथा $a _4$ एक धनात्मक सार्व अंतर की संमातर श्रेढ़ी में हैं तथा इनका माध्य $p$ है। यदि $i=1,2,3,4$ के लिए $\left|f\left(a_i\right)\right|=500$ है, तो $f ( x )=0$ के मूलों का निरपेक्ष अंतर है $...........$
$50$
$60$
$70$
$80$
Solution
$f(x)=0 \Rightarrow(x-p)^{2}-q=0$
Roots are $p+\sqrt{q}, p-\sqrt{q}$ absolute difference between roots $2 \sqrt{q}$.
Now, $\left|f\left(a_{i}\right)\right|=500$
Let $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} a_{r} a_{1} a+d, a+2 d, a+3 d$
$\left|f\left(a_{4}\right)\right|=500$
$\left|\left(a_{1}-p\right)^{2}-q\right|=500$
$\Rightarrow\left(a_{1}-p\right)^{2}-q=500$
$\Rightarrow \frac{9}{4} d^{2}-q=500$
$\text { and }\left|f\left(a_{1}\right)\right|^{2}=\left|f\left(a_{2}\right)\right|^{2}$
$\left(\left(a_{1}-p\right)^{2}-q\right)^{2}=\left(\left(a_{2}-p\right)^{2}-q\right)^{2}$
$\left(\left(a_{1}-p\right)^{2}-\left(a_{2}-p\right)^{2}\right)\left(\left(a_{1}-p\right)^{2}-q+\left(a_{2}-p\right)^{2}-q\right)=0$
$\Rightarrow \frac{9}{4} d^{2}-q+\frac{d^{2}}{4}-q=0$
$2 q=\frac{10 d^{2}}{4} \Rightarrow q=\frac{5 d^{2}}{4}$
$\Rightarrow d^{2}=\frac{4 q}{5}$
From equation $(1)$ $\frac{9}{4} \cdot \frac{4 \cdot q}{5}-q=500$
$\frac{4 q}{5}=500$
$\frac{4 q}{5}=500$
and $2 \sqrt{q}=2 \times \frac{50}{2}=50$