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यदि समीकरण $a{x^2} + bx + c = 0$ के मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योगफल के बराबर है, तो $b{c^2},\;c{a^2},\;a{b^2}$ होंगे
समान्तर श्रेणी में
गुणोत्तर श्रेणी में
हरात्मक श्रेणी में
इनमें से कोर्इ नहीं
Solution
(a) माना दी गयी समीकरण $a{x^2} + bx + c = 0$ के मूल $\alpha ,\;\beta $ हैं, अत: $\alpha + \beta = – \frac{b}{a}$ तथा $\alpha \beta = \frac{c}{a}$
$\frac{1}{{{\alpha ^2}}} + \frac{1}{{{\beta ^2}}} = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}{{{\alpha ^2}{\beta ^2}}} = \frac{{\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{2c}}{a}}}{{\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}} = \frac{{{b^2} – 2ac}}{{{c^2}}}$
प्रतिबन्धानुसार, $\alpha + \beta = \frac{1}{{{\alpha ^2}}} + \frac{1}{{{\beta ^2}}}$
$ \Rightarrow – \frac{b}{a} = \frac{{{b^2} – 2ac}}{{{c^2}}} \Rightarrow – b{c^2} = a{b^2} – 2{a^2}c$
$\therefore $ $2{a^2}c = a{b^2} + b{c^2} \Rightarrow a{b^2},\;c{a^2},\;b{c^2}$
या $b{c^2},\;c{a^2},\;a{b^2}$ समान्तर श्रेणी में हैं।
