$A,B,C$ तथा $P,Q,R$ के प्रत्येक मान के लिए $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\cos (A - P)}&{\cos (A - Q)}&{\cos (A - R)}\\{\cos (B - P)}&{\cos (B - Q)}&{\cos (B - R)}\\{\cos (C - P)}&{\cos (C - Q)}&{\cos (C - R)}\end{array}\,} \right|$ का मान है

अंतराल $(0,4 \pi)$ में $\theta$ के मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$3(\sin 3 \theta) x-y+z=2$

$3(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=3$

$6 x+7 y+7 z=9$

का कोई हल नहीं है, की संख्या है:

यदि समीकरणों के निकाय $\begin{array}{l}\alpha x + y + z = \alpha  - 1\\x + \alpha y + z = \alpha  - 1\\x + y + \alpha z = \alpha  - 1\end{array}$ का कोई हल नहीं है, तब $\alpha $ का मान है

$\alpha $ के किस मान के लिए समीकरणों $a + b - 2c = 0,$ $2a - 3b + c = 0$ और $a - 5b + 4c = \alpha $ का हल समुच्चय संगत है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&5&\pi \\{{{\log }_e}e}&5&{\sqrt 5 }\\{{{\log }_{10}}10}&5&e\end{array}\,} \right| = $

समीकरण  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&4&{20}\\1&{ - 2}&5\\1&{2x}&{5{x^2}}\end{array}\,} \right| = 0$ के मूल हैं