माना $D = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right|$ and $D' = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} + p{b_1}}&{{b_1} + q{c_1}}&{{c_1} + r{a_1}}\\{{a_2} + p{b_2}}&{{b_2} + q{c_2}}&{{c_2} + r{a_2}}\\{{a_3} + p{b_3}}&{{b_3} + q{c_3}}&{{c_3} + r{a_3}}\end{array}\,} \right|$, तो

निम्न रेखीय समीकरण का विचार कीजिए :

$-x+y+2 z=0$

$3 x-a y+5 z=1$

$2 x-2 y-a z=7$

माना $a \in R$ के सभी मानों, जिनके लिए यह निकाय असंगत है, का समुच्चय $S_{1}$ है तथा $a \in R$ के सभी मानों, जिनके लिए इस निकाय के अनंत हल है, का समुच्चय $S _{2}$ है। यदि $S _{1}$ तथा $S _{2}$ में अवयवों की संख्या क्रमशः $n \left( S _{1}\right)$ तथा $n \left( S _{2}\right)$ है, तब

यदि $n \ne 3k$ और 1,$\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तो $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right|$ का मान है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2}}&{{2^2}}&{{3^2}}\\{{2^2}}&{{3^2}}&{{4^2}}\\{{3^2}}&{{4^2}}&{{5^2}}\end{array}\,} \right|$=          

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =5$, $x +2 y +2 z =6$, $x +3 y +\lambda z =\mu,(\lambda, \mu \in R )$ के अनन्त हल है, तो $\lambda+\mu$ का मान है