किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त

$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?

$(A)$ $\alpha=-1$  $(B)$ $\alpha \beta=4$   $(C)$ $\alpha \beta=-4$   $(D)$ $\beta=4$

माना $z _{1}$ तथा $z _{2}$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $3\left| z _{1}\right|=4\left| z _{2}\right|$ है। यदि $z =\frac{3 z _{1}}{2 z _{2}}+\frac{2 z _{2}}{3 z _{1}}$ हो, तो

यदि कोणांक $(z) = \theta $, तो कोणांक $\,(\overline z ) = $        

माना दो सम्मिश्र संख्याओं $\mathrm{z}_1$ तथा $\mathrm{z}_2$ के लिए $z_1+z_2=5$ तथा $z_1^3+z_2^3=20+15 i$ है तो $\left|z_1^4+z_2^4\right|$ बराबर है -

$|z|$ का उच्चिष्ठ मान, जहाँ $\left| {z + \frac{2}{z}} \right| = 2$है, होगा

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या हो, तो $|z| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान है