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किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त
$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?
$(A)$ $\alpha=-1$ $(B)$ $\alpha \beta=4$ $(C)$ $\alpha \beta=-4$ $(D)$ $\beta=4$
$A,B$
$A,C$
$A,D$
$B,D$
Solution
$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ implies $z$ is
on arc and $(-\alpha, 0) \&(-\beta, 0)$ subtend $\frac{\pi}{4}$ on $z$.
And $z$ lies on $x^2+y^2+5 x-3 y+4=0$
So put $y=0$;
$x^2+5 x+4=0 \Rightarrow x=-1 ; x=-4$
Now, $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4} \Rightarrow z+\alpha=(z+\beta)$. T. $e^{i \frac{\pi}{4}}$
So, $z+\beta=z+4 \Rightarrow \beta=4 \& z+\alpha=z+1 \Rightarrow \alpha=1$
