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3 and 4 .Determinants and Matrices
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यदि वास्तविक संख्याओं $\alpha$ तथा $\beta$ के लिए रैखिक समीकरण निकाय : $x + y - z =2, x +2 y +\alpha z =1,2 x - y + z =\beta$ के अनंत हल हैं, तो $\alpha+\beta$ बराबर है ।
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
(JEE MAIN-2021)
Solution
For infinite solutions
$\Delta=\Delta_{1}=\Delta_{2}=\Delta_{3}=0$
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$
$\Delta=3(2+\alpha)=0$
$\Rightarrow \alpha=-2$
$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & \beta & 1\end{array}\right|=0$
$1(1+2 \beta)-2(1+4)-(\beta-2)=0$
$\beta-7=0$
$\beta=7$
$\therefore \alpha+\beta=5$
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