माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0$, $(a, b, c \in R$ तथा $a, b \neq 0)$ के वास्तविक मूल हैं। यदि $u , v , w$ में समीकरण निकाय $\alpha u +\beta v +\gamma w =0$, $\beta u+\gamma v+\alpha w=0 ; \gamma u+\alpha v+\beta w=0$ का अतुच्छ हल है, तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान है

समीकरण निकाय $\lambda x + y + z = 0,$ $ - x + \lambda y + z = 0,$ $ - x - y + \lambda z = 0$ का एक अशून्य हल होगा, यदि $\lambda $ का वास्तविक मान है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}&{\cos x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}\,} \right| = 0$ के विभिन्न वास्तविक हलों की संख्या होगी $\left( {- \frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{4}} \right)$

सारणिकों का प्रयोग करके $(3,1)$ और $(9,3)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना कि दो $3 \times 3$ आव्यूह (matrices) $M$ तथा $N$ इस प्रकार है कि $M N=N M$ है। यदि $M \neq N^2$ तथा $M^2=N^4$ हो, तो

$(A)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक (determinant) का मान शून्य है।

$(B)$ एक ऐसा $3 \times 3$ शून्येतर (non-zero) आव्यूह $U$ है जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है।

$(C)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक मान $\geq 1$ है।

$(D)$ $3 \times 3$ आव्यूह $U$ जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ भी एक शून्य आव्यूह होगा।

यदि $2x + 3y + 4z = 9$,$4x + 9y + 3z = 10,$ $5x + 10y + 5z = 11$,  तो $x$ का मान है