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3 and 4 .Determinants and Matrices
hard
माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0$, $(a, b, c \in R$ तथा $a, b \neq 0)$ के वास्तविक मूल हैं। यदि $u , v , w$ में समीकरण निकाय $\alpha u +\beta v +\gamma w =0$, $\beta u+\gamma v+\alpha w=0 ; \gamma u+\alpha v+\beta w=0$ का अतुच्छ हल है, तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान है
A
$5$
B
$3$
C
$1$
D
$0$
(JEE MAIN-2021)
Solution
$\left|\begin{array}{lll}\alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta\end{array}\right|=0$
$\Rightarrow-(\alpha+\beta+\gamma)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\sum \alpha \beta\right)=0$
$\Rightarrow-(-a)\left(a^{2}-2 b-b\right)=0$
$\Rightarrow a\left(a^{2}-3 b\right)=0$
$\Rightarrow a^{2}=3 b \Rightarrow \frac{a^{2}}{b}=3$
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