दो उपग्रह $A$ तथा $B$, जिनके द्रव्यमानों का अनुपात $3 : 1$ है, $r$ तथा $4r$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में गति कर रहे हैं। तब $A$ तथा $B$ की यांत्रिक ऊर्जाओं का अनुपात है

नीचे दो कथन दिये गये है।

कथन $I$ : पृथ्वी के परितः घूमते हुए एक उपग्रह की

कुल ऊर्जा यदि $\mathrm{E}$ हो, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा $\frac{\mathrm{E}}{2}$

होगी।

कथन $II$: एक कक्षा में घूमते हुए एक उपग्रह की

गतिज ऊर्जा कुल उर्जा $\mathrm{E}$ के परिमाण के आधे के

बराबर होती है।

उपरोक्त कथनों के संदर्भ में, नीचे दिये गये विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनिए।

कितने वेग से किसी पिण्ड को ऊपर फेंके कि वह पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊंचाई पर पहुंच जाए?

पृथ्वी सूर्य के चारों ओर $9.3 \times {10^7}\,$ मी त्रिज्या की एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में घूमती हुई एक वर्ष में एक चक्कर पूरा करती है। माना कि वहाँ कोई बाह्य प्रभाव नहीं है, तब

द्रव्यमान $m$ का एक कण द्रव्यमान $M(\gg m)$ के एक पिंड के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में है| यह कण $r_0$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार कक्षा में $M$ के परितः आवर्तकाल $T_0$ से परिक्रमण कर रहा है| अब कण पर एक अतिरिक्त केन्द्रीय बल, जिसके संगत स्थितिज ऊर्जा $V_c(r)=m \alpha / r^3$ है, लगाया जाता है, जहाँ $\alpha$ एक धनात्मक नियतांक है तथा $r$ उसी कक्षा के केंद्र से दूरी है। यदि कण अब उसी त्रिज्या $r_0$ की कक्षा में $M$ तथा $V_{ c }(r)$ के संयुक्त विभव के अंतर्गत एक नए आवर्तकाल $T_1$ से परिक्रमण करता है तो, $\left(T_1^2-T_0^2\right) / T_1^2$ का मान है,

[ $G$ गुरुत्वीय नियतांक है।]