સુવાહક તારમાંથી વિધુતપ્રવાહ પસાર કરતાં ઉદ્ભવતી ઉષ્મા-ઊર્જા, તારમાંથી પસાર થતાં વિધુતપ્રવાહ $I$, તારના અવરોધ $R$ અને વિધુતપ્રવાહ પસાર થવાના સમય $t$ પર આધાર રાખે છે. આ હકીકતનો ઉપયોગ કરી ઉષ્મા - ઉર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
સુવાહક તારમાંથી વિધુતપ્રવાહ પસાર કરતાં ઉદ્ભવતી ઉષ્મા-ઊર્જા, તારમાંથી પસાર થતાં વિધુતપ્રવાહ $I$, તારના અવરોધ $R$ અને વિધુતપ્રવાહ પસાર થવાના સમય $t$ પર આધાર રાખે છે. આ હકીકતનો ઉપયોગ કરી ઉષ્મા - ઉર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
$\mathrm{H} \propto \mathrm{I}^{a} \mathrm{R}^{b} t^{c}$
$\therefore \quad \mathrm{H}=k \mathrm{I}^{a} \mathrm{R}^{b} t^{c}$, જ્યાં $k$ પરિમાણારહિત અચળાંક અને $a, b, c \in \mathrm{R}$ છે.
$\begin{aligned}[\mathrm{H}] =[k][\mathrm{I}]^{a}[\mathrm{R}]^{b}[\mathrm{t}]^{c} \\ \mathrm{M}^{1} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}=(\mathrm{A})^{a}\left(\mathrm{M}^{1} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~T}^{-3} \mathrm{~A}^{-2}\right)^{b}(\mathrm{~T})^{c} \\ =\mathrm{A}^{a} \times \mathrm{M}^{b} \mathrm{~L}^{2 b} \mathrm{~T}^{-3 b} \mathrm{~A}^{-2 b} \times \mathrm{T}^{c} \\ \mathrm{M}^{1} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~T}^{-2} =\mathrm{M}^{b} \mathrm{~L}^{2 b} \mathrm{~T}^{-3 b+c} \mathrm{~A}^{a-2 b} \end{aligned}$
$\mathrm{M}$ ના પરિમાણાસરખાવતાં,
$b=1$
$L$ ના પરિમાણ સરખાવતાં,
$\begin{aligned} -3 b+c=-2 \\ \therefore -3+c=-2 \quad[\because b=1] \\ \therefore c=1 \end{aligned}$
$A$ ના પરિમાણ સરખાવતાં,
$a-2 b=0$
$\therefore a-2=0$
$\therefore a=2$
$\therefore \mathrm{H}=k \mathrm{l}^{a} \mathrm{R}^{b} \mathrm{~T}^{c}$ માં $k=1, a=2, b=1, c=1$ મૂકતાં, $\mathrm{H}=\mathrm{I}^{2} \mathrm{R} t$ મળે.
Similar Questions
આઇન્સ્ટાઇનના પ્રખ્યાત સાપેક્ષવાદને આધારે દળ $(m)$ એ ઊર્જા $(E)$ સાથે $E = mc^2$ સંબંધથી સંકળાયેલ છે.
જ્યાં $c =$ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે. ન્યુકિલયર ઊર્જાનું મૂલ્ય સૂક્ષ્મ હોય અને તે $Mev$ માં મપાય છે. જ્યાં $1\,MeV = 1.6\times 10^{-13}\,J$ ; જેમાં દ્રવ્યમાન (એટોમિક માસ યુનિટ) $amu$ માં મપાય છે તથા $1\,u = 1.67 \times 10^{-27}\, kg$.
$(a)$ $1\,u = 931.5\, MeV$ મેળવો.
$(b)$ એક વિધાર્થીએ $1\,u = 931.5\, MeV$ લખ્યો છે જે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટો હોવાનું શિક્ષકે કહ્યું છે તો સાચો સંબંધ લખો.
આઇન્સ્ટાઇનના પ્રખ્યાત સાપેક્ષવાદને આધારે દળ $(m)$ એ ઊર્જા $(E)$ સાથે $E = mc^2$ સંબંધથી સંકળાયેલ છે.
જ્યાં $c =$ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે. ન્યુકિલયર ઊર્જાનું મૂલ્ય સૂક્ષ્મ હોય અને તે $Mev$ માં મપાય છે. જ્યાં $1\,MeV = 1.6\times 10^{-13}\,J$ ; જેમાં દ્રવ્યમાન (એટોમિક માસ યુનિટ) $amu$ માં મપાય છે તથા $1\,u = 1.67 \times 10^{-27}\, kg$.
$(a)$ $1\,u = 931.5\, MeV$ મેળવો.
$(b)$ એક વિધાર્થીએ $1\,u = 931.5\, MeV$ લખ્યો છે જે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટો હોવાનું શિક્ષકે કહ્યું છે તો સાચો સંબંધ લખો.
$s$ પૃષ્ઠતાણ હેઠળ દોલનો કરતાં અને ઘનતા $d$, ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંના દોલનોના આવર્તકાળ $t$ ને $t = \sqrt {{r^{2b}}\,{s^c}\,{d^{a/2}}} $ સમીકરણથી દર્શાવી શકાય છે. તેવું જોવા મળે છે કે આવર્તકાળ $\sqrt {\frac{d}{s}} $ ના સમપ્રમાણમાં છે. તો $b$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
- [JEE MAIN 2013]
જો કોઈ નેનોકેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ વિદ્યુતભાર $e,$ બોહર ત્રિજ્યા $a_0,$ પ્લાન્ક અચળાંક $h$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના મિશ્રિત એકમ $u$ થી માપવામાં આવેલ હોય, તો.....
જો કોઈ નેનોકેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ વિદ્યુતભાર $e,$ બોહર ત્રિજ્યા $a_0,$ પ્લાન્ક અચળાંક $h$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના મિશ્રિત એકમ $u$ થી માપવામાં આવેલ હોય, તો.....
- [JEE MAIN 2015]
તરંગના વેગનું સમીકરણ $ Y = A\sin \omega \left( {\frac{x}{v} - k} \right) $ ,જયાં $ \omega $ કોણીય વેગ અને $v$ રેખીય વેગ હોય,તો $k$ નું પારિમાણીક સૂત્ર શું થશે?
તરંગના વેગનું સમીકરણ $ Y = A\sin \omega \left( {\frac{x}{v} - k} \right) $ ,જયાં $ \omega $ કોણીય વેગ અને $v$ રેખીય વેગ હોય,તો $k$ નું પારિમાણીક સૂત્ર શું થશે?
એક સાદું લોલક વિચારો જેમાં ગોળાને એક દોરી સાથે બાંધેલું છે અને તે ગુરુત્વબળની અસર હેઠળ દોલનો કરે છે. ધારો કે સાદા લોલકનાં દોલનોનો આવર્તકાળ તેની લંબાઈ $(I)$, ગોળાનાં દળ $(m)$, ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધારીત છે. તો પરિમાણની રીતનો ઉપયોગ કરીને આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
એક સાદું લોલક વિચારો જેમાં ગોળાને એક દોરી સાથે બાંધેલું છે અને તે ગુરુત્વબળની અસર હેઠળ દોલનો કરે છે. ધારો કે સાદા લોલકનાં દોલનોનો આવર્તકાળ તેની લંબાઈ $(I)$, ગોળાનાં દળ $(m)$, ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધારીત છે. તો પરિમાણની રીતનો ઉપયોગ કરીને આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.