જો $a, b, c,d$ તે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો બતાવો કે $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=(a b+b c+c d)^{2}$
If $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$ Therefore,
$b c=a d$ ..........$(1)$
$b^{2}=a c$ .........$(2)$
$c^{2}=b d$ .........$(3)$
It has to be proved that,
$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=(a b+b c+c d)^{2}$
$R.H.S.$
$=(a b+b c+c d)^{2}$
$=(a b+a d+c d)^{2}$ [ Using $(1)$ ]
$=[a b+d(a+c)]^{2}$
$=a^{2} b^{2}+2 a b d(a+c)+d^{2}(a+c)^{2}$
$=a^{2} b^{2}+2 a^{2} b d+2 a c b d+d^{2}\left(a^{2}+2 a c+c^{2}\right)$ [ Using $(1)$ and $(2)$ ]
$=a^{2} b^{2}+2 a^{2} c^{2}+2 b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+2 d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2}$
$=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2}$
$=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} \times b^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+c^{2} b^{2}+c^{2} \times c^{2}+c^{2} d^{2}$
[ Using $(2)$ and $(3)$ and rearranging terms ]
$=a^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+b^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+c^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$
$=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=$ $L.H.S$
$\therefore L .H.S. = R . H.S.$
$\therefore\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=(a b+b c+c d)^{2}$
$0.7 +0 .77 + 0.777 + ...... $ શ્રેણીના $10$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
સમગુણોત્તર શ્રેણી $2,8,32, \ldots$ $n$ પદ સુધી, માટે કયું પદ $131072$ હશે ?
સમગુણોત્તર શ્રેણી $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ના પ્રથમ કેટલાં પદોનો સરવાળો $\frac{3069}{512}$ થાય ?
શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{19}{27}, \frac{65}{81}, \ldots \ldots$ નાં પ્રથમ $100$ પદોના સરવાળો જેટલો કે તેથી નાનો મહતમ પૂણાંક ........ છે.
જો $a, b$ અને $c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીની ત્રણ ભિન્ન સંખ્યા છે અને $a + b + c = xb$ થાય તો $x$ ની કિમત ...... હોઈ શકે નહીં.