સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનો $(n + 1)$ પદથી $(2n)$ માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ થાય.
સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનો $(n + 1)$ પદથી $(2n)$ માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ થાય.
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$
Sum of first $n$ terms $=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{(1-r)}$
Since there are $n$ terms from $(n+1)^{\text {th }}$ to $(2 n)^{\text {th }}$ term,
Sum of terms from $(n+1)^{t h}$ to $(2 n)^{th}$ term
$S_{n}=\frac{a_{n+1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
$a^{n+1}=a r^{n+1-1}=a r^{n}$
Thus, required ratio $=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{(1-r)} \times \frac{(1-r)}{a r^{n}\left(1-r^{n}\right)}=\frac{1}{r^{n}}$
Thus, the ratio of the sum of first $n$ terms of a $G.P.$ to the sum of terms from term is $\frac{1}{r^{n}}$
Similar Questions
જો $G_1 $ અને $G_2$ એ અનુક્રમે $ n_1 $ અને $n_2 $ કદની બે શ્રેણીઓના સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય, અને $G$ એ તેમની સંયુક્ત શ્રેણીનો સમગુણોત્તર મધ્યક હોય તો $log G$ કોના બરાબર થાય છે ?
જો $G_1 $ અને $G_2$ એ અનુક્રમે $ n_1 $ અને $n_2 $ કદની બે શ્રેણીઓના સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય, અને $G$ એ તેમની સંયુક્ત શ્રેણીનો સમગુણોત્તર મધ્યક હોય તો $log G$ કોના બરાબર થાય છે ?
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પહેલું પદ $1$ અને તેના ત્રીજા અને પાંચમાં પદોનો સરવાળો $90$ હોય તો સામાન્ય ગુણોત્તર મેળવો.
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પહેલું પદ $1$ અને તેના ત્રીજા અને પાંચમાં પદોનો સરવાળો $90$ હોય તો સામાન્ય ગુણોત્તર મેળવો.
જે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, દસમાં અને સોળમાં પદ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ હોય, તો સાબિત કરી કે $x,$ $y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે
જે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, દસમાં અને સોળમાં પદ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ હોય, તો સાબિત કરી કે $x,$ $y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો પહેલા ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ થાય તો શ્રેણીના પહેલા છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો પહેલા ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ થાય તો શ્રેણીના પહેલા છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
- [AIEEE 2012]
જો $a, b, c$, અને $ p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\, \leq \,0,$ તો બતાવો કે $a, b, c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
જો $a, b, c$, અને $ p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\, \leq \,0,$ તો બતાવો કે $a, b, c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.