माना $3 \times 3$ के सभी आव्यूहों, जिनके अवयव $\{-1$, 0,1 में से है, का समुच्चय $S$ है। आव्यूहों $A$ $\in S$ जिनके लिए $A ^{ T } A$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग 6 है, की कुल संख्या है $……….$

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $B ^{\prime} AB$ सममित अथवा विषम सममित है यदि $A$ सममित अथवा विषम सममित है।

यदि $A ^{\prime}=\left[\begin{array}{rr}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ तथा $B =\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि

$( A + B )^{\prime}= A ^{\prime}+ B ^{\prime}$

माना कि $3 \times 3$ आव्यूह $M=\left(a_{i j}\right), i, j \in\{1,2,3\}$, इस प्रकार है कि $a_{i j}=1$ यदि $i$ से $j+1$ विभाज्य (divisible) है, अन्यथा $a_{i j}=0$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है

$(B)$ एक शून्येतर (nonzero) स्तंभ आव्यूह (column matrix) $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right)$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि

$M\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-a_1 \\ -a_2 \\ -a_3\end{array}\right)$

$(C)$ समुच्चय $\left\{X \in R ^3: M X=0\right\} \neq\{0\}$, जहाँ $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

$(D)$ आव्यूह $(M-2 I)$ व्युत्क्रमणीय है, जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है

वर्ग आव्यूह के अनुरेख को इसकी विकर्ण प्रविष्टियों के योगफल से परिभाषित करते है। यदि $A , 2 \times 2$ कोटि का आव्यूह इस प्रकार है कि $A$ का अनुरेख $3$ तथा $A ^3$ का अनुरेख -$18$ हो, तो $A$ के सारणिक का मान होगा