જો $A, B, C$ એ કોઈ યાદચ્છિક પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ ત્રણ ઘટનાઓ હોય, તો સાબિત કરો કે $P ( A \cup B \cup C ) $ $= P ( A )+ P ( B )+ P ( C )- $ $P ( A \cap B )- P ( A \cap C ) $ $- P ( B \cap C )+ $ $P ( A \cap B \cap C )$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Consider $E = B \cup C$ so that

$P ( A \cup B \cup C ) = P ( A \cup E )$

$= P ( A )+ P ( E )- P ( A \cap E )$                ...... $(1)$

Now

$P ( E )= P ( B \cup C )$

$= P ( B )+ P ( C )- P ( B \cap C )$               ......... $(2)$

Also $A \cap E=A \cap(B \cup C)$ $=(A \cap B) \cup(A \cap C)$   [using distribution property of intersection of sets over the union]. Thus

$P(A \cap E)=P(A \cap B)+P(A \cap C)$ $-P[(A \cap B) \cap(A \cap C)]$

$= P ( A \cap B )+ P ( A \cap C )- P [ A \cap B \cap C ] $        ......... $(3)$

Using $(2)$ and $( 3 )$ in $(1)$, we get

$P [ A \cup B \cup C ]= P ( A )+ P ( B )$ $+ P ( C )- P ( B \cap C )$ $- P ( A \cap B )- P ( A \cap C )$ $+ P ( A \cap B \cap C )$

Similar Questions

એક પ્રવેશ કસોટીને બે પરીક્ષાના આધાર પર શ્રેણીબદ્ધ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીની પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના $0.8$ છે અને બીજી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના $0.7$ છે. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના $0.95$ છે. બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના શું છે? 

જો $A$ અને  $B$ બે ઘટનાઓ છે કે જેથી $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cap B} \right)$, તો આપેલ પૈકી કયું વિધાન અસત્ય છે .

  • [JEE MAIN 2014]

જો $A$ ને પરીક્ષામાં નાપાસ થવાની સંભાવના $1/5$ છે અને $B$ ની સંભાવના $3/10$ છે. તો $A$ અથવા $B$ ને નાપાસ થવાની સંભાવના કેટલી થાય ?

$52$ પત્તામાંથી એક પત્તુ યાદચ્છિક પસંદ કરતાં તે પત્તું રાજા હોય કે ચોકટનું હોય તેની સંભાવના $…….. $છે.

ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{7}{12}$ અને  $P (A -$ નહી અથવા $B-$ નહી $) =$ $\frac {1}{4}$. $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે કે નહિ ?