यदि $A , B , C$ किसी यादृच्च्छक प्रयोग के संगत तीन घटनाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि
$P ( A \cup B \cup C )= P ( A )+ P ( B )+ P ( C )- P ( A \cap B )- P ( A \cap C )$
$-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$
Consider $E = B \cup C$ so that
$P ( A \cup B \cup C ) = P ( A \cup E )$
$= P ( A )+ P ( E )- P ( A \cap E )$ ...... $(1)$
Now
$P ( E )= P ( B \cup C )$
$= P ( B )+ P ( C )- P ( B \cap C )$ ......... $(2)$
Also $A \cap E=A \cap(B \cup C)$ $=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ [using distribution property of intersection of sets over the union]. Thus
$P(A \cap E)=P(A \cap B)+P(A \cap C)$ $-P[(A \cap B) \cap(A \cap C)]$
$= P ( A \cap B )+ P ( A \cap C )- P [ A \cap B \cap C ] $ ......... $(3)$
Using $(2)$ and $( 3 )$ in $(1)$, we get
$P [ A \cup B \cup C ]= P ( A )+ P ( B )$ $+ P ( C )- P ( B \cap C )$ $- P ( A \cap B )- P ( A \cap C )$ $+ P ( A \cap B \cap C )$
$A$ के सत्य बोलने की प्रायिकता $\frac{4}{5}$ है जबकि $B$ के सत्य बोलने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है। किसी एक तथ्य पर दोनों में विरोधाभास हो, उसकी प्रायिकता है
तीन जहाज $A, B$ व $C$ इग्लैंड से भारत आते हैं। यदि उनके सुरक्षित आने के अनुपात क्रमश: $2 : 5, 3 : 7$ व $6 : 11$ हैं तो सभी जहाजों के सुरक्षित आने की प्रायिकता है
माना $S =\{1,2,3, \ldots, 2022\}$ है। तब समुच्चय $S$ से यादृच्छया चुनी गई एक संख्या $n$ के लिए $HCF$ $( n , 2022)=1$ होने की प्रायिकता है:
एक घुड़-दौड़ में तीन घोड़ों के अनुकूल संयोगानुपात $1:2 , 1:3$ व $1:4$ हैं, तो किसी एक घोड़े के द्वारा दौड़ जीते जाने की प्रायिकता है
$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ $P ( A )=0.3, P ( B )=0.6$ तो $P ( A$ और $B$ में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।