લધુ કોણ $\angle B$ તથા $\angle Q$ માટે $\sin B =\sin Q$ છે. સાબિત કરો કે $\angle B =\angle Q$.

ચાલો, આપણે જેમાં $\sin B=\sin Q$ હોય, એવા બે કાટકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ લઈએ. (જુઓ આકૃતિ )

અહીં $\quad \sin B =\frac{A C}{A B}$

અને $\sin Q =\frac{ PR }{ PQ }$

તેથી, $\quad \frac{A C}{A B}=\frac{P R}{P Q}$

માટે, $\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=k,$  (ધારો)...........$(1)$

હવે, પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,

$BC =\sqrt{ AB ^{2}- AC ^{2}}$

અને $QR =\sqrt{ PQ ^{2}- PR ^{2}}$

તેથી, $\quad \frac{ BC }{ QR }=\frac{\sqrt{ AB ^{2}- AC ^{2}}}{\sqrt{ PQ ^{2}- PR ^{2}}}=\frac{\sqrt{k^{2} PQ ^{2}-k^{2} PR ^{2}}}{\sqrt{ PQ ^{2}- PR ^{2}}}=\frac{k \sqrt{ PQ ^{2}- PR ^{2}}}{\sqrt{ PQ ^{2}- PR ^{2}}}=k$ ..........$(2)$

પરિણામ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,

$\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}$

આમ, પ્રમેય 6.4 પ્રમાણે $\Delta ACB \sim \Delta PRQ.$ તેથી, $\angle B =\angle Q$.