यदि mathrm{A}=left[begin{array}{cc}√{2} & 1 -1 & √{2}end{array}right], mathrm{B}=l

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2}\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\mathrm{ABA}^{\top}$ तथा $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{C}^2 \mathrm{~A}$ हैं, तो $\operatorname{det} \mathrm{X}$ बराबर है :

$243$

$729$

$27$

$891$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2}\end{array}\right] \Rightarrow \operatorname{det}(A)=3 \\ & B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right] \Rightarrow \operatorname{det}(B)=1\end{aligned}$

Now $C=A B A^T \Rightarrow \operatorname{det}(C)=(\operatorname{dct}(A))^2 x \operatorname{det}(B)$

$|C|=9$

$\text { Now }|X|=\left|A^T C^2 A\right|$

$=\left|A^T\right||C|^2|A|$

$=|A|^2|C|^2$

$=9 \times 81$

$=729$

Standard 12

Mathematics

$n \times n$ के उपरित्रिभुजीय आव्यूह में न्यूनतम शून्यों की संख्या होगी

normal

यदि $A,B,C$ तीन $n \times n$ क्रम के आव्यूह हों, तो $(ABC)' = $

normal

माना कि $X$ एवं $Y$ दो स्वेच्छ (arbitrary), $3 \times 3$, शून्येतर (non-zero) विषम सममित (skew-symmetric) आव्यूह (Matrix) है और $Z$ एक स्वेच्छ, $3 \times 3$, शून्येतर, सममित (symmetric) आव्यूह है। तब निम्नलिखित में से कौनसा (से) विषम सममित आव्यूह है (हैं) ?

$(A)$ $Y^3 Z^4-Z^4 Y^3$ $(B)$ $X ^{44}+ Y ^{44}$

$(C)$ $X ^4 Z ^3- Z ^3 X ^4$ $(B)$ $X ^{23}+ Y ^{23}$

medium

(IIT-2015)

माना $3 \times 3$ के आव्यूहों $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ में $\mathrm{A}$ सममित है तथा $\mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ विषम सममित है। कथनों

($S1$) $\mathrm{A}^{13} \mathrm{~B}^{26}-\mathrm{B}^{26} \mathrm{~A}^{13}$ सममित है।

($S2$) $\mathrm{A}^{26} \mathrm{C}^{13}-\mathrm{C}^{13} \mathrm{~A}^{26}$ सममित है।

का विचार कीजिए। तो

hard

(JEE MAIN-2023)

माना $\mathrm{A}$ वास्तविक अवयवों का एक $2 \times 2$ आव्यूह है जिसके लिए $\mathrm{A}^{\prime}=\alpha \mathrm{A}+\mathrm{I}$ है $\alpha \in \mathbb{R}-\{-1,1\}$ है। यदि $\operatorname{det}\left(A^2-A\right)=4$ है, तो $\alpha$ के सभी संभव मानों का योग बराबर है

hard

(JEE MAIN-2023)

Solution

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