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माना $3 \times 3$ के आव्यूहों $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ में $\mathrm{A}$ सममित है तथा $\mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ विषम सममित है। कथनों
($S1$) $\mathrm{A}^{13} \mathrm{~B}^{26}-\mathrm{B}^{26} \mathrm{~A}^{13}$ सममित है।
($S2$) $\mathrm{A}^{26} \mathrm{C}^{13}-\mathrm{C}^{13} \mathrm{~A}^{26}$ सममित है।
का विचार कीजिए। तो
केवल $S2$ सत्य है।
केवल $S1$ सत्य है।
$\mathrm{S} 1$ तथा $\mathrm{S} 2$ दोनों असत्य है।
$\mathrm{S} 1$ तथा $\mathrm{S} 2$ दोनों सत्य है।
Solution
Given, $A^T=A, B^T=-B, C^T=-C$
Let $M=A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}$
Then, $M^T=\left(A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}\right)^{ T }$
$=\left(A^{13} B^{26}\right)^T-\left(B^{26} A^{13}\right)^{ T }$
$=\left(B^{ T }\right)^{26}\left(A^{ T }\right)^{13}-\left(A^{ T }\right)^{13}\left( B ^{ T }\right)^{26}$
$= B ^{26} A ^{13}- A ^{13} B ^{26}=- M$
Hence, $M$ is skew symmetric
Let, $N = A ^{26} C ^{13}- C ^{13} A ^{26}$
then, $N^{ T }=\left( A ^{26} C ^{13}\right)^{ T }-\left( C ^{13} A ^{26}\right)^{ T }$ $=-(C)^{13}(A)^{26}+A^{26} C^{13}=N$
Hence, $N$ is symmetric.
$\therefore$ Only $S2$ is true.
