यदि z एक सम्मिश्र संख्या हो, तो z.,overline z =

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4-1.Complex numbers

normal

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या हो, तो $z.\,\overline z = 0$ यदि और केवल यदि

A

$z = 0$

B

${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = 0$

C

${\mathop{\rm Im}\nolimits} \,(z) = 0$

D

इनमें से कोई नहीं

Solution

(a) माना $z = x + iy,\overline z = x – iy$

$z\overline z = 0 ⇒(x + iy)(x – iy) = 0$

$⇒{x^2} + {y^2} = 0$

यह तभी सम्भव है जब $x$ व $y$ दोनों एक साथ $0$ हों अर्थात् $z = 0 + 0i = 0$

Standard 11

Mathematics

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यदि ${z_1} = a + ib$ व ${z_2} = c + id$ सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$ व $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0,$ तो सम्मिश्र संख्याओं का युग्म ${w_1} = a + ic$ व ${w_2} = b + id$ संतुष्ट करता है

hard

(IIT-1985)

यदि $z_{1}=2-i, z_{2}=1+i,\left|\frac{z_{1}+z_{2}+1}{z_{1}-z_{2}+i}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

medium

माना $\mathrm{z}=1+\mathrm{i}$ तथा $\mathrm{z}_1=\frac{1+\mathrm{i} \overline{\mathrm{z}}}{\overline{\mathrm{z}}(1-\mathrm{z})+\frac{1}{\mathrm{z}}}$ है तो $\frac{12}{\pi} \arg \left(\mathrm{z}_1\right)$ बराबर है____________.

hard

(JEE MAIN-2023)

$z$ का वह मान जिसके लिए $|z + i|\, = \,|z – i|$ है

easy

माना कि $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) को निरूपित करता है। यदि $z$ एक ऐसी शून्येतर ($non-zero$) सम्मिश्र संख्या है जिसके लिए

$(\bar{z})^2+\frac{1}{z^2}$ के वास्तविक एवं काल्पनिक दोनों भाग (both real and imaginary parts) पूर्णांक (integers) हैं, तब निम्न में से कौन सा (से) $|z|$ के संभावित मान है (हैं) ?

normal

(IIT-2022)